Równanie w zbiorze liczb zespolonych

[8magda]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tego równania, nie wiem nawet jak zacząć.

\(\displaystyle{ z^{6}+i=0}\)

[cosinus90]

Najłatwiej przenieść \(\displaystyle{ i}\) na prawą stronę i obliczyć z niej pierwiastek szóstego stopnia (otrzymasz 6 rozwiązań zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry).

[8magda]

\(\displaystyle{ z^{6}=-i}\)

co dalej, naprawdę nie mam pojęcia, nie robiliśmy podobnego przykładu na zajęciach, a pojawił się na egzaminie.

[cosinus90]

Powiedziałem co dalej.

i obliczyć z niej pierwiastek szóstego stopnia (otrzymasz 6 rozwiązań zgodnie z zasadniczym twierdzeniem algebry)

Wzór de Moivre'a powinniście mieć.

[Mistrz]

Albo można zamienić na postać wykładniczą: \(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{-i}= \sqrt[6]{e^{\frac{3}{2}\pi i}} = e^{(\frac{1}{4} +\frac{k}{3})\pi i }\hbox{ dla dowolnego } k\in \mathbb{Z}}\)