rownanie zespolone

[zibi79]

\(\displaystyle{ z^{3}= (iz+1)^{3}}\)

prosze o pomoc w rozwiazaniu takiego rownania. wiadomo, ze sa 3 rozwiazania.

z gory dziekuje za pomoc.

[Zlodiej]

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+a\cdot b + b^2)}\)

Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ z^3-(iz+1)^3=(z-(iz+1))\cdot(z^2+z\cdot(iz+1)+(iz+1)^2)=0}\)

Przyrównujesz odpowiednie nawiasy do 0. W pierwszym masz zwykle równanie liniowe, a w drugim równanie kwadratowe, które rozwiązujesz z delty .

[marcin777]

Z tego równania liniowego wyszły mi 2 rozwiązania:
\(\displaystyle{ x=1 , y=0 ; oraz y=0, x=0}\)

Natomiast rozwiązując równanie kwadratowe delta wyszła mi:
\(\displaystyle{ 1-16i}\)

Co zrobić żeby rozwiązać to zadanie do końca ?-- 7 wrz 2010, o 17:20 --Ponawiam pytanie

[kb12]

\(\displaystyle{ z^{3} = (iz + 1)^{3} \\
z = \sqrt[3]{(iz + 1)^{3}} \\
z = iz + 1 \\
0 = iz - z + 1 \\
0 = z(i - 1 + \frac{1}{z} )\mbox{ dla } \frac{1}{z} = 0\mbox{, więc} \\
0 = z(i - 1) \\
z = 0 \\
i = 1}\)

czy może być tak to rozwiązane

[Mistrz]

kb12 - masz źle. Nie robi się tak, gdyż w ten sposób nie uzyskasz wszystkich rozwiązań, tylko jedno. A Ty i tak napisałeś tam coś dziwnego (i=1?)
marcin777 również źle, mi wyszła inna delta, no i równanie liniowe ma jedno rozwiązanie.
Poniżej moje rozumowanie:

1. Rozwiązujemy równanie liniowe z pierwszego nawiasu (spodziewamy się jednego rozwiązania):
\(\displaystyle{ z-iz-1=0 \\ z-iz=1 \\ z(1-i)=1 \\ z=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}}\)
Mamy jedno rozwiązanie.
2. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, z drugiego nawiasu:
\(\displaystyle{ z^2+iz^2+z+ (iz)^2+2iz+1=0 \\
z^2(1+i-1) + z(1+2i) +1=0 \\
\Delta=(1+2i)^2-4i=1+2i-4-4i=-2i-3}\)
Moduł tej delty to \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\), a jej argument to \(\displaystyle{ \pi+\arctan\frac{2}{3}}\), zatem \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt[4]{13}\cdot e^{\frac{i}{2}(\arctan\frac{2}{3}+\pi)}}\). Daje nam to dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ z=\frac{-1-2i\pm\sqrt[4]{13}\cdot e^{\frac{i}{2}(\arctan\frac{2}{3}+\pi)}}{2i}
=\frac{i-2\pm\sqrt[4]{13}\cdot e^{\frac{i}{2}(\arctan\frac{2}{3})}}{2}}\)
Nieprzyjemne, ale mam nadzieję, że prawdziwe.

[Lorek]

kb12 pomysł ma dobry, ale wymaga uzupełnienia
\(\displaystyle{ z^3=(iz+1)^3\\ z=\sqrt[3]{1}(iz+1)}\)
podstawiamy wartości \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}}\) i mamy 3 równania liniowe.

[Mistrz]

Ach, widzę swój błąd. Źle obliczyłem wyróżnik równania kwadratowego. Powinno być \(\displaystyle{ \Delta=-3}\) i wówczas \(\displaystyle{ z=\frac{i-2\pm\sqrt{3}}{2}}\). Faktycznie, pokrywa się to z tym, co napisał Lorek.