Równanie i płaszczyzna Gaussa

szymonber · Post autor: **szymonber** » 1 wrz 2010, o 11:54

Rozwiązywałem dziś zadania z liczb zespolonych i trafiłem na coś takiego: "Rozwiązać równanie i zaznaczyć rozwiązanie w układzie współrzędnych na płaszczyźnie Gaussa.", a równanie jest postaci:

\(\displaystyle{ z^4+3z^2-4=0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ z^2=u}\)

Otrzymuję równanie: \(\displaystyle{ u^2+3u-4=0}\)

Pytanie - Czy dalej liczyć deltę, pierwiastki? Nie wiem jak się do tego zabrać. Prosiłbym o pomoc, wskazówki lub fragment rozwiązania. Z góry dziękuję i pozdrawiam.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 wrz 2010, o 11:55

Czy dalej liczyć deltę, pierwiastki?

Zgadza się

szymonber · Post autor: **szymonber** » 1 wrz 2010, o 12:18

\(\displaystyle{ \Delta=3u^2-4u^2\cdot(-4)=9u^2+16u^2=25u^2}\)
\(\displaystyle{ x1=\frac{-3u+5u}{2u^2}=\frac{1}{u}}\)
\(\displaystyle{ x2=\frac{-3u-5u}{2u^2}=\frac{-4}{u}}\)

Tak jest prawidłowo? Jeżeli tak to co dalej?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 wrz 2010, o 12:19

No źle. Deltę liczysz tak jak przy normalnym równaniu kwadratowym....

A to chyba umiesz, nie? ;]

szymonber · Post autor: **szymonber** » 1 wrz 2010, o 12:24

No tak, już kompletnie zamuliłem.
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ x1=1}\)
\(\displaystyle{ x2=-4}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 wrz 2010, o 12:26

No zgadza się.Teraz wróć do podstawienia

szymonber · Post autor: **szymonber** » 1 wrz 2010, o 12:32

\(\displaystyle{ z^2=1}\)
\(\displaystyle{ z^2=-4}\)

Dobrze rozumiem? Ale co dalej?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 wrz 2010, o 12:33

No teraz wyznaczasz \(\displaystyle{ z}\). Masz znowu dwa równania kwadratowe . 4 rozwiązania będą

szymonber · Post autor: **szymonber** » 1 wrz 2010, o 12:35

No pierwszy przypadek to \(\displaystyle{ z=1}\) lub \(\displaystyle{ z=-1}\), ale drugi?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 wrz 2010, o 12:37

\(\displaystyle{ z^2=-4 \Leftrightarrow z^2 +4=0 \Leftrightarrow z^2- (2i) ^{2}=0}\)

206126.htm

szymonber · Post autor: **szymonber** » 2 wrz 2010, o 10:42

\(\displaystyle{ z^2-(2i)^2=0}\)

\(\displaystyle{ (z+2i)(z-2i)=0}\)

\(\displaystyle{ z+2i=0 \vee z-2i=0}\)

\(\displaystyle{ z=-2i \vee z=2i}\)

Tak mam to rozumieć, czy jeszcze jakiś błąd zrobiłem?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 2 wrz 2010, o 10:45

Jest dobrze.

szymonber · Post autor: **szymonber** » 2 wrz 2010, o 10:48

I teraz wystarczy te 4 pierwiastki zaznaczyć \(\displaystyle{ 1,-1,-2i, 2i}\) ?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 2 wrz 2010, o 10:49

szymonber · Post autor: **szymonber** » 2 wrz 2010, o 10:51

Wielkie dzięki za pomoc