Potęgowanie liczby zespolonej

[grzesiekgrucha]

Proszę o sprawdzenie

\(\displaystyle{ z=-4i}\)
\(\displaystyle{ z^{13}=?}\)
\(\displaystyle{ |z|=4}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{3}{2} \pi}\)

\(\displaystyle{ z^{13}=4^{13}[cos(13 \cdot \frac{3}{2} \pi) ]+i \cdot sin(13 \cdot \frac{3}{2} \pi )}\)

\(\displaystyle{ z^{13}=4^{13}(cos19,5 \pi) +i \cdot sin19,5 \pi}\)

\(\displaystyle{ z^{13}=4^{13} \cdot [(0+i \cdot (- 1 )]}\)

\(\displaystyle{ z^{13}=4^{13} \cdot 0+4^{13} \cdot -i}\)

\(\displaystyle{ z^{13}=0-4^{13}i}\)

\(\displaystyle{ (-4i)^{13}=-4^{13}i}\)

[miodzio1988]

A tak po co?

\(\displaystyle{ z^{13}= (4i) ^{13} =(4 ) ^{13} \cdot ( i) ^{13}}\)

Od razu widać co zrobić.

[grzesiekgrucha]

ale to jest -4i

[SaxoN]

ale to jest -4i

To nas nie przeraża... Drobna modyfikacja
\(\displaystyle{ z^{13}= (-4i) ^{13} =(-1)^{13}\cdot(4)^{13}\cdot(i)^{13}}\)

[grzesiekgrucha]

poprawiłem moje rachunki, bo zauważyłem błąd, teraz powinno być dobrze-- 31 sie 2010, o 16:09 --\(\displaystyle{ (-4i)^{13}=-4^{13}i}\)
Czy taki ma być ostateczny wynik?

[miodzio1988]

SaxoN dzięki. Nie zauważyłem minusa

[grzesiekgrucha]

Może jestem natrętny, ale odpowie mi ktoś? Dobrze, czy źle?

[miodzio1988]

Jest ok. (tak w pamięci licząc)

[grzesiekgrucha]

ale to jest -4i

To nas nie przeraża... Drobna modyfikacja
\(\displaystyle{ z^{13}= (-4i) ^{13} =(-1)^{13}\cdot(4)^{13}\cdot(i)^{13}}\)

Czy to na pewno można w ten sposób? To jest liczba zespolona, dlatego obliczałem to przy użyciu wzoru Moivrea.-- 31 sie 2010, o 16:24 --Dzięki.

[miodzio1988]

Można.