Naszkicuj dwa zbiory

[Pit33r]

witam. mam pytanie odnośnie metody obliczania takich zadań:

\(\displaystyle{ A=|z+3-3i| \le 3 \wedge argz \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3}{4}\pi \right]}\)
\(\displaystyle{ B= |\frac{z-7i}{z+i}| = 1}\)

pierwsza część zbioru A jest dla mnie prosta. jak zabrać się za 2 część i zbiór B?

[Crizz]

Mówiąc o 2. części masz na myśli to? \(\displaystyle{ argz \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3}{4}\pi \right]}\)

Jeśli tak, to gdzie na płaszczyźnie Gaussa leżą punkty, których argument wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)? A gdzie leżą punkty, których argument wynosi \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)?

Co do zbioru B, to najpierw zauważasz, ze \(\displaystyle{ z \neq -i}\). Moduł ilorazu to iloraz modułów, zatem spokojnie możesz pomnożyć obie strony przez \(\displaystyle{ |z+i|}\). Potem podstaw \(\displaystyle{ z=x+yi}\) i przekształcaj dalej.

[Pit33r]

nie mogę sobie inaczej tego wyobrazić. powiedz coś więcej.

ad B.

tak, \(\displaystyle{ z \neq -i}\)
\(\displaystyle{ |z-7i|=|z+i|}\)
\(\displaystyle{ |x+yi+7i|=|x+yi+i|}\)
\(\displaystyle{ |x+(y+7)i|=|x+(y+1)i|}\)
dochodze do tego momentu.

[Crizz]

\(\displaystyle{ |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

A co do pierwszego:

Zaznaczyłeś dwie półproste i to właśnie te, o które pytałem. Super. Teraz masz zaznaczyć zbiór tych liczb, których argumenty są pośrednie - pomiędzy tymi dwoma wartościami kątów. Zbiorem takich punktów jest kąt wyznaczony przez te dwie półproste:

[Pit33r]

O, no i dzięki Ci wielkie. wszystko rozumiem.

a odnośnie pierwszego:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y+7)^2}= \sqrt{x^2+(y+1)^2}}\)

i mam niezłą zagadkę, bo w poprzednich zadaniach wszystko było proste tzn: patrząc na to co jest pod pierwiastkiem, rez=0(?) imz= -7. to co było za znakiem równości (była to liczba) określało promień okręgu. W tym przypadku jest kolejna interpretacja modułu. jak to ogarnąć?

[Kamil_B]

Możesz podniść do kwadratu obie strony i poskracać co się da.
Co do interpretacji geometrycznej:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \{ z \in \mathbb{C}: \ \left|z-a \right| = \left|z-b \right| \}}\) to zbiór punktów leżących na symetralnej odcinka o koncach w punktach \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

[Pit33r]

\(\displaystyle{ x^2+(y+7)^2=x^2+(y+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (y+7)^2=(y+1)^2}\)
\(\displaystyle{ y^2+14y+49=y^2+2y+1}\)
\(\displaystyle{ 12y=-48}\)
\(\displaystyle{ y=-4}\)

tak?
tylko jak to teraz powiązać z tą symetralną. hmm

[Kamil_B]

Jest ok. U Ciebie \(\displaystyle{ a=7i, b=-i}\), więc zaznacz sobie te punkty, przypomnij sobie co to jest symetralna i sprawdź, że się zgadza

[Pit33r]

tak, rzeczywiścię się zgadza a i jeszcze jedno. czy na płaszczyźnie gaussa rozwiązaniem będą wszystkie punkty, znajdujące się na prostej \(\displaystyle{ y=-4}\)?

[Kamil_B]

Tak wychodzi