Korzystając z postaci trygonometrycznej oblicz ilorazy
: 25 sie 2010, o 22:25
Witam wszystkich bardzo serdecznie,
Ponieważ wyraźne braki w wiedzy z zakresu trygonometrii nie dają mi spać po nocach, prosiłbym o wyjaśnienie, dlaczego jeden sposób rozwiązania jest poprawny a drugi zaś nie.
Treść zadania:
Korzystając z postaci trygonometrycznej, oblicz podane ilorazy:
a) \(\displaystyle{ \frac{2+2i}{1-i}}\)
Wzory z jakich korzystam:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=\frac{r_{1}}{ r_{2}} \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ r_{1}= \left| z_{1}\right|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{1}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Zarówno sin jak i cos są w pierwszej ćwiartce, więc nie ma problemu: \(\displaystyle{ \varphi_{1}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}= \left| z_{2}\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
I teraz zaczynają się schody:
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
Rysuję moją liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z_{2}}\) w układzie współrzędnych, mamy czwartą ćwiartkę. Nauczony doświadczeniem kilku innych przykładów jakie rozwiązywałem olewam \(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}}\) i wiadomość jakie o nim posiadam, czyli że znajduję się w pierwszej ćwiartce i liczę następująco:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{7}{4}\pi=-\frac{3}{2}\pi}\)
a w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=2\left( \cos \left(-\frac{3}{2}\pi\right) + i \sin \left(-\frac{3}{2}\pi\right) \right)}\)
Natomiast rozwiązaniem poprawnym jest:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi=-\frac{\pi}{4}}\), co jak rozumiem wynika z równania: \(\displaystyle{ 2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi}\)
I dostajemy:
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i}\)
Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego w przypadku \(\displaystyle{ \varphi_{2}}\) należy przyjąć wartość \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\)
Ponieważ wyraźne braki w wiedzy z zakresu trygonometrii nie dają mi spać po nocach, prosiłbym o wyjaśnienie, dlaczego jeden sposób rozwiązania jest poprawny a drugi zaś nie.
Treść zadania:
Korzystając z postaci trygonometrycznej, oblicz podane ilorazy:
a) \(\displaystyle{ \frac{2+2i}{1-i}}\)
Wzory z jakich korzystam:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=\frac{r_{1}}{ r_{2}} \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ r_{1}= \left| z_{1}\right|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{1}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Zarówno sin jak i cos są w pierwszej ćwiartce, więc nie ma problemu: \(\displaystyle{ \varphi_{1}=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}= \left| z_{2}\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
I teraz zaczynają się schody:
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
Rysuję moją liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z_{2}}\) w układzie współrzędnych, mamy czwartą ćwiartkę. Nauczony doświadczeniem kilku innych przykładów jakie rozwiązywałem olewam \(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}}\) i wiadomość jakie o nim posiadam, czyli że znajduję się w pierwszej ćwiartce i liczę następująco:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{7}{4}\pi=-\frac{3}{2}\pi}\)
a w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=2\left( \cos \left(-\frac{3}{2}\pi\right) + i \sin \left(-\frac{3}{2}\pi\right) \right)}\)
Natomiast rozwiązaniem poprawnym jest:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi=-\frac{\pi}{4}}\), co jak rozumiem wynika z równania: \(\displaystyle{ 2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi}\)
I dostajemy:
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i}\)
Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego w przypadku \(\displaystyle{ \varphi_{2}}\) należy przyjąć wartość \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\)