Korzystając z postaci trygonometrycznej oblicz ilorazy

[mrfiree]

Witam wszystkich bardzo serdecznie,
Ponieważ wyraźne braki w wiedzy z zakresu trygonometrii nie dają mi spać po nocach, prosiłbym o wyjaśnienie, dlaczego jeden sposób rozwiązania jest poprawny a drugi zaś nie.

Treść zadania:
Korzystając z postaci trygonometrycznej, oblicz podane ilorazy:

a) \(\displaystyle{ \frac{2+2i}{1-i}}\)

Wzory z jakich korzystam:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=\frac{r_{1}}{ r_{2}} \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)}\)

\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ r_{1}= \left| z_{1}\right|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{1}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Zarówno sin jak i cos są w pierwszej ćwiartce, więc nie ma problemu: \(\displaystyle{ \varphi_{1}=\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ r_{2}= \left| z_{2}\right|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

I teraz zaczynają się schody:
\(\displaystyle{ \sin\varphi_{2}=\frac{-\sqrt{2}}{2}}\)
Rysuję moją liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z_{2}}\) w układzie współrzędnych, mamy czwartą ćwiartkę. Nauczony doświadczeniem kilku innych przykładów jakie rozwiązywałem olewam \(\displaystyle{ \cos\varphi_{2}}\) i wiadomość jakie o nim posiadam, czyli że znajduję się w pierwszej ćwiartce i liczę następująco:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{7}{4}\pi=-\frac{3}{2}\pi}\)
a w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=2\left( \cos \left(-\frac{3}{2}\pi\right) + i \sin \left(-\frac{3}{2}\pi\right) \right)}\)

Natomiast rozwiązaniem poprawnym jest:
\(\displaystyle{ \varphi_{2}=\frac{7}{4}\pi=-\frac{\pi}{4}}\), co jak rozumiem wynika z równania: \(\displaystyle{ 2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi}\)
I dostajemy:
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i}\)

Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego w przypadku \(\displaystyle{ \varphi_{2}}\) należy przyjąć wartość \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}}\)

Z tego wzoru nie korzystaj. Rób zawsze rysunek i wtedy wyznaczaj kąt

Z tego wzoru nie korzystaj.

To jest bzdurą

[mrfiree]

Kiedy opowiedziałeś byłem w trakcie aktualizowania posta, który omyłkowo wysłałem przed korektą. Powtórzę pytanie:

Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego w przypadku \(\displaystyle{ \varphi_{2}}\) należy przyjąć wartość \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\)

Najlepiej łopatologicznie, bo mam problem ze zrozumieniem dlaczego raz jest tak a raz inaczej (uogólniając do przykładów z jakimi się zmagałem).

[Crizz]

Może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego w przypadku \(\displaystyle{ \varphi_{2}}\) należy przyjąć wartość \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{7}{4}\pi}\)

A co za różnica? Liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów, jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest jej argumentem, to \(\displaystyle{ \varphi+2k\pi,k\in Z}\) także. Jeśli użyłeś raz jednej, a raz drugiej wartości i wyszedł ci inny wynik, to oznacza, że gdzieś się rąbnąłeś, nic więcej.

a w konsekwencji:
\(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{ z_{2}}=2\left( \cos \left(-\frac{3}{2}\pi\right) + i \sin \left(-\frac{3}{2}\pi\right) \right)}\)

\(\displaystyle{ ...=2i}\)

[mrfiree]

Jeśli użyłeś raz jednej, a raz drugiej wartości i wyszedł ci inny wynik, to oznacza, że gdzieś się rąbnąłeś, nic więcej.

I masz świętą rację, w obliczeniach pogubiłem minus przy argumentach sin i cos przez co wszystko się pod... Z parzystości ładnie wychodzi. Dzięki za rozjaśnienie umysłu ; )-- 25 sie 2010, o 22:51 --

\(\displaystyle{ \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}}\)

Z tego wzoru nie korzystaj. Rób zawsze rysunek i wtedy wyznaczaj kąt

Z tego wzoru nie korzystaj.

To jest bzdurą

Czyli mam korzystać czy nie? Jak widać, wszystko wychodzi, więc odpowiadam sobie, że mogę. A wzór zaczerpnięty z "Algebra Liniowa 1" - Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas.