Nietypowa postać trygonometryczna

[lemon]

Witam. Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak obliczyć taką nietypową (przynajmniej dla mnie) postać trygonometryczną?

\(\displaystyle{ (1+\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})^6}\)

Myślałem na początku o zapisaniu jedności jako \(\displaystyle{ 1=\cos0}\) i później zsumowaniu ale przecież wtedy kąt będzie różny a tak być nie może przecież.

[kuba746]

a może spróbować zamienić \(\displaystyle{ sin}\) i \(\displaystyle{ cos}\) ma liczby \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{2} +i\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^6 = \left(\frac{3}{2} +i\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) ^6}\) i zamienić teraz na postać trygo. można jeszcze \(\displaystyle{ 0.5}\) wyciągnąć

[irena_1]

\(\displaystyle{ z=1+cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\(1+cos\frac{\pi}{3}+i\ sin\frac{\pi}{3})^6=(1+\frac{1}{2}+i\cdit\frac{\sqrt{3}}{2})^6=\\=(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^6\\r=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt{3}\\z=\frac{3}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\\z=\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{6}+sin\frac{\pi}{6}i)}\)

\(\displaystyle{ z^6=(\sqrt{3})^6(cos6\cdot\frac{\pi}{6}+sin6\cdot\frac{\pi}{6}i)}\)
\(\displaystyle{ z^6=(\sqrt{3})^6(cos\pi+i\ sin\pi)\\z^6=27(-1+i\cdot0)=-27}\)