No i tu się pojawia problem, skąd mam wiedzieć jakiemu kątowi odpowiadają takie wartości sinusa i cosinusa? No ale ok liczymy dalej...
\(\displaystyle{ -3-4i=5(\cos\phi +i\sin \phi)}\)
Korzystając ze wzoru Moivre'a \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=(-3-4i)^{\frac12}=(5(\cos\phi +i\sin \phi))^{\frac12}=5\cdot\frac12(\cos\frac12\phi+i\sin\frac12\phi)}\)
Gdyby nie ten kąt byłby to jedyny problem. Jednak w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ \pm(1-2i)}\)
Jak mam dojść do takiego wyniku?
Ostatnio zmieniony 24 sie 2010, o 20:15 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
lemon pisze:
No i tu się pojawia problem, skąd mam wiedzieć jakiemu kątowi odpowiadają takie wartości sinusa i cosinusa?
Jedynym wyjściem przy takim sposobie rozwiązania zadania jest wzięcie do ręki tablicy wartości funkcji trygonometrycznych. W ten jednak sposób wyznaczysz tylko przybliżoną wartość rozwiązania.
Chciałbym Ci zaproponować taki sposób rozwiązania (przydatny zwłaszcza przy pierwiastku kwadratowym, dla pierwiastków wyższych stopni raczej nie uda Ci się go zastosować):
Niech szukanym pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ z=x+yi,x,y\in \Re}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ z^{2}=-3-4i}\) \(\displaystyle{ (x+yi)^{2}=-3-4i}\) \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}+2xyi=-3-4i}\)
Korzystamy teraz z kryterium równości liczb zespolonych i otrzymujemy: \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=-3 \\ -2xy=-4 \end{cases}}\)
Rozwiązujesz ten układ równań i masz rozwiązanie.
Po pierwsze tam nie jest \(\displaystyle{ 5\cdot \frac{1}{2}}\) tylko \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) w ostatecznym wyniku.
Z innej strony możesz wyliczyć \(\displaystyle{ \cos\frac{\phi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\frac{\phi}{2}}\) korzystając ze wzorów trygonometrycznych i wtedy po zastosowaniu mojej pierwszej uwagi wyjdzie ci dokładnie ten sam wynik co w odpowiedziach. Wiem, bo sprawdzałem.
Czyli podsumowując: \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) zamiast \(\displaystyle{ 5\cdot \frac{1}{2}}\)
a reszta jest ok.
