Pierwiastek liczby zespolonej

[dawinczi06]

Mam przykład (znaleźć pierwiastki równania):

\(\displaystyle{ z ^{4}+81=0}\)

Wykonuję operacje:

\(\displaystyle{ z ^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +81=0}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} =-81}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{-81}= \sqrt{81i ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ t=9i \vee -9i}\)

W takim wypadku, pierwsze z rozwiązań dla przykładu:
\(\displaystyle{ z ^{2} =9i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{9i}}\)
No i tu się właśnie zaczyna problem, jak pozbyć się pierwiastka lub wyciągnąć spod niego \(\displaystyle{ i}\)?
Znalazłem alternatywną formę tego wyrażenia, która ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{3+3i}{ \sqrt{2} }}\)
i właśnie ta postać została wykorzystana w zadaniu.
Moim pytaniem, a zarazem prośbą jest, w jaki sposób dojść do takiego wyrażenia?
Samo \(\displaystyle{ \sqrt{i}}\) ma alternatywną formę \(\displaystyle{ \frac{1+i}{ \sqrt{2} }}\), ale nie mam pojęcia jak to wyprowadzić. ;]

Proszę o wskazówki.

[miodzio1988]

post761356.htm#p761356

Tutaj masz sposób liczenia \(\displaystyle{ \sqrt{9i}}\)

[dawinczi06]

Eh... pospieszyłem się z tym tematem. Przecież wystarczy obliczyć pierwiastki zwykłym sposobem:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{9i}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} =9i}\)

\(\displaystyle{ 9i =x ^{2} +2xyi-y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{9 ^{2} }=9}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2} -y ^{2}=0 \\ 2xy=9 \\x ^{2} +y ^{2} =9\end{cases}}\)

I dalej układ równań i rzeczywiście wychodzi... Nie pomyślałem
Czyli nie potrzebne było to wyprowadzenie, można było sobie poradzić w ten sposób.
W takim razie przepraszam za założenie tematu.

Pozdrawiam.