Równanie zespolone z ilorazem.

[dawinczi06]

Mam taki oto przykład:

Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie:

\(\displaystyle{ \frac{1-3i}{3z+2i} = \frac{2i-3}{5-2iz}}\)

Wiem, że mam z całego równania wyznaczyć z. Próbowałem w różny sposób doprowadzić do równania, w którym tylko po jednej stronie będzie z, ale coś się nie udaje.
Próbowałem pozbywać się ułamków, czyli doprowadzałem do postaci:
\(\displaystyle{ (5-2iz)(1-3i)=(3z+2i)(2i-3)}\)
a następnie wymnożyłem, z czego wychodzi
\(\displaystyle{ 9-9i-8zi-3z=0}\)
ale nie wiem jak z tego wyliczyć z.

Próbowałem też najpierw pozbyć się 'i' z mianownika, czyli mnożyłem obie strony równania przez odpowiedni im mianownik ze zmienionym znakiem, ale i tak nic z tego nie wyszło.

Proszę o jakąś wskazówkę lub wskazanie błędu. Możliwe, że umknął mi jakiś sposób do rozwiązywania takiego typu zadań, ale nigdzie nie potrafię znaleźć podobnego przykładu, w którym równanie posiada iloraz (ułamek).

Z góry dziękuję.

[Kamil_B]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i baw się dalej.
I przydałyby się jeszcze jakieś założenia, że te nasze ułamki mają sens

[dawinczi06]

Podstawienie \(\displaystyle{ z=x+iy}\)? Hm... robienie z jednej niewiadomej dwóch na pewno jest dobrym pomysłem? Podstawiłem jak mówisz, ale to wciąż do niczego mnie nie prowadzi. ;/ Tym razem wyszło: \(\displaystyle{ 9-9i-11x+13yi+6y=0}\) Chyba, że chodzi o co innego.

Co do założeń, to fakt. Mianowniki nie mogą równać się 0, czyli:
\(\displaystyle{ z \neq - \frac{2}{3} i}\) oraz \(\displaystyle{ z \neq \frac{5}{2i}}\) (?)

Na całe zadanie z równań, mam tylko 2 przykłady w takiej formie ułamkowej, które do tego nie chcą po przekształceniu się sprowadzić do równania kwadratowego. Odpowiedź do powyższego dodatkowo mnie zdziwiła. Niestety wciąż brak mi pomysłów. Dodatkowo przejrzałem zeszyt z ćwiczeń i żadnego takiego przykładu (ani nawet podobnego) nie było

[Kamil_B]

Przenieś \(\displaystyle{ x,y}\) na jedna stronę a resztę na drugą i porównaj część rzeczywistą i urojoną
(oczywiście tutaj bierzemy \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\), tak jak w postaci algebraicznej liczby zespolonej)

[Crizz]

Próbowałem pozbywać się ułamków, czyli doprowadzałem do postaci:
\(\displaystyle{ (5-2iz)(1-3i)=(3z+2i)(2i-3)}\)
a następnie wymnożyłem, z czego wychodzi
\(\displaystyle{ 9-9i-8zi-3z=0}\)

\(\displaystyle{ 8zi+3z=9-9i}\)

\(\displaystyle{ z(3+8i)=9-9i}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{9-9i}{3+8i} = \frac{9-9i}{3+8i} \cdot \frac{3-8i}{3-8i}=...}\)

(zakładając, że dobrze to wymnożyłeś, a nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ +3z}\) )

[dawinczi06]

Crizz, Racja, powinno być \(\displaystyle{ +3z}\). I rzeczywiście po Twoich przekształceniach wychodzi: \(\displaystyle{ - \frac{45}{73}- \frac{99}{73}i}\), czyli tak samo jak w odpowiedziach. Wielkie dzięki, bo jakoś nie udało mi się wpaść na takie przekształcenie

Kamil_B, bardziej mi właśnie chodziło o rozwiązanie Crizza, niż o sprawdzanie zgodności pomiędzy częścią rzeczywistą i urojoną. Tak czy inaczej, dzięki za pomoc. ;]