Witam.
Powoli zbliża się kampania wrześniowa, a ja nadal jestem nogą z matematyki.
Dlatego tez proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych 4 zadań.
zad.1 Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{3} - i}\) jest jednym z pierwiastków stopnia trzeciego pewnej liczby zespolonej z. Pozostałe pierwiastki to.. (wyznaczyć i podać).
zad.2 Pierwiastki równania zespolonego \(\displaystyle{ z^{4} + z^3 + z^{2} + 1 = 0}\) są postaci...(obliczyć).
zad.3 Iloczyn pierwiastków zespolonych w równaniu \(\displaystyle{ z ^{3} -1 =0}\) wynosi ..(ile? podać pełne rozwiązanie).
o pierwiastkach równań wielomianowych
-
ola_wawa_pw
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2010, o 16:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 2 razy
o pierwiastkach równań wielomianowych
Ostatnio zmieniony 10 sie 2010, o 17:36 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy, gdy nie zabierasz głosu w prowadzonej w nich dyskusji.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy, gdy nie zabierasz głosu w prowadzonej w nich dyskusji.
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
o pierwiastkach równań wielomianowych
Jesli chodzi o pierwsze i trzecie, to rozwiazania ukladaja sie co iles stopni (co 120 podajze, poszukaj gdzies to musisz miec podane). Przejdz na postac \(\displaystyle{ R(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\) Masz jedno rozwiazanie znajdz teraz pozostale. Trzecie mozesz jeszcze zrobic w taki sposob:
\(\displaystyle{ z^3-1=0\\
(z-1)(z^2+z+1)=0}\)
\(\displaystyle{ z^3-1=0\\
(z-1)(z^2+z+1)=0}\)
-
ola_wawa_pw
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 sie 2010, o 16:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 2 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
o pierwiastkach równań wielomianowych
\(\displaystyle{ z^{4} + z^3 + z^{2} + 1 = 0}\)
Możesz zacząć w ten sposób
\(\displaystyle{ z^{4} + z^3 + z^{2} + 1 = 0}\)
Sprowadzamy lewą stronę równania do kwadratu zupełnego
\(\displaystyle{ z^{4} + z^3 =- z^{2} - 1 \\
z^{4} + z^3+ \frac{1}{4}z^2 =- \frac{3}{4} z^{2} - 1}\)
Sprowadzamy prawą stronę równania do kwadratu zupełnego
\(\displaystyle{ \left(z^2+ \frac{1}{2}z \right)^2=- \frac{3}{4}z^2-1 \\
\left(z^2+ \frac{1}{2}z + \frac{y}{2} \right)^2= \left(y - \frac{3}{4}\right) z^2+ \frac{1}{2}yz+ \frac{y^2}{4} -1}\)
Prawa strona równania będzie kwadratem zupełnym gdy jej wyróżnik będzie równy zero
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y^2= \left(y^2-4 \right) \left(y - \frac{3}{4} \right) \\
y^3- \frac{3}{4}y^2-4y+3= \frac{1}{4}y^2\\
y^3- y^2-4y+3= 0\\}\)
Te równanie ma wprawdzie jeden pierwiastek rzeczywisty ale jest on podany w dość skomplikowany sposób
\(\displaystyle{ a_{4}z^{4} + a_{3}z^3 + a_{2}z^{2} a_{1}z+a_{0} = 0}\)
Powyższe równanie możesz sprowadzić do równania trzeciego stopnia następującymi podstawieniami
\(\displaystyle{ z=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
Te podstawienie wyruguje z równania wyraz \(\displaystyle{ a_{3}z^3}\)
Następnie stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
Te podstawienie sprowadzi równanie do układu równań nieliniowych będących
wzorami Viete'a równania trzeciego stopnia
Na podstawie otrzymanych wzorów Viete układasz równanie trzeciego stopnia
Możesz zacząć w ten sposób
\(\displaystyle{ z^{4} + z^3 + z^{2} + 1 = 0}\)
Sprowadzamy lewą stronę równania do kwadratu zupełnego
\(\displaystyle{ z^{4} + z^3 =- z^{2} - 1 \\
z^{4} + z^3+ \frac{1}{4}z^2 =- \frac{3}{4} z^{2} - 1}\)
Sprowadzamy prawą stronę równania do kwadratu zupełnego
\(\displaystyle{ \left(z^2+ \frac{1}{2}z \right)^2=- \frac{3}{4}z^2-1 \\
\left(z^2+ \frac{1}{2}z + \frac{y}{2} \right)^2= \left(y - \frac{3}{4}\right) z^2+ \frac{1}{2}yz+ \frac{y^2}{4} -1}\)
Prawa strona równania będzie kwadratem zupełnym gdy jej wyróżnik będzie równy zero
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y^2= \left(y^2-4 \right) \left(y - \frac{3}{4} \right) \\
y^3- \frac{3}{4}y^2-4y+3= \frac{1}{4}y^2\\
y^3- y^2-4y+3= 0\\}\)
Te równanie ma wprawdzie jeden pierwiastek rzeczywisty ale jest on podany w dość skomplikowany sposób
\(\displaystyle{ a_{4}z^{4} + a_{3}z^3 + a_{2}z^{2} a_{1}z+a_{0} = 0}\)
Powyższe równanie możesz sprowadzić do równania trzeciego stopnia następującymi podstawieniami
\(\displaystyle{ z=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
Te podstawienie wyruguje z równania wyraz \(\displaystyle{ a_{3}z^3}\)
Następnie stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)
Te podstawienie sprowadzi równanie do układu równań nieliniowych będących
wzorami Viete'a równania trzeciego stopnia
Na podstawie otrzymanych wzorów Viete układasz równanie trzeciego stopnia
-
pajong8888
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
o pierwiastkach równań wielomianowych
W drugim można jeszcze zrobić tak \(\displaystyle{ z^4+z^3+z^2+z+1=0\Rightarrow (z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\Rightarrow z^5-1=0}\)
Wiedząc, że 1 jest jednym pierwiastkiem tego wielomianu, wyznacz tak jak w 1 i 3 reszte pierwiastków, będących pierwiastkami początkowego wielomianu.
Wiedząc, że 1 jest jednym pierwiastkiem tego wielomianu, wyznacz tak jak w 1 i 3 reszte pierwiastków, będących pierwiastkami początkowego wielomianu.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
o pierwiastkach równań wielomianowych
pajong8888, nie możesz współczynnik przy z jest zerowy
Gdyby tak można było zrobić to rozwiązaniem byłoby
\(\displaystyle{ e^{ \frac{2ki\pi}{5} } k=1..4}\)
Gdyby tak można było zrobić to rozwiązaniem byłoby
\(\displaystyle{ e^{ \frac{2ki\pi}{5} } k=1..4}\)