Potęgowanie liczb zespolonych

[paul090]

Witam, mam obliczyć ten przykład:

\(\displaystyle{ (\frac{1 + i}{ \sqrt{2} }) ^{26}}\)

prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ i}\), póki co moduł liczby zespolonej wyszedł mi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ cos \ \alpha = sin \ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\). Otrzymałem coś takiego:

\(\displaystyle{ z ^{26} = ( \sqrt{2} ) ^{26} (cos \frac{26 \pi }{4} + isin \frac{26 \pi}{4})}\)

[Kartezjusz]

Wzkazówka. Jak inaczej(za pomocą trygonometrii zapiszesz pierwiastek z dwóch?)

[Crizz]

Niech \(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}\), wtedy:
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=1}\)
a \(\displaystyle{ \frac{26\pi}{4}=3 \cdot 2\pi+\frac{\pi}{2}}\), czyli w przypadku sinusa i cosinusa kąt redukuje się do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).

[paul090]

Teraz aż mi wstyd że zadaję takie pytania... dzięki, wakacje nie służą myśleniu.