obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
krzyssd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 cze 2010, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: J-W

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: krzyssd »

oblicz pierwiastek drugiego stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=18+16i}\)

prosiłbym o rozwiązanie a nie o podpowiedź, z góry dziękuje
Ostatnio zmieniony 29 cze 2010, o 12:57 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: cosinus90 »

Gotowców tutaj raczej nie dostaniesz, popracuj sam. Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot (cos \frac{\varphi + 2k \pi }{n} + i \cdot sin\frac{\varphi + 2k \pi }{n})}\) , gdzie \(\displaystyle{ k = 0,1,2, ... , n}\) , natomiast moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ |z| = \sqrt{ a^{2} + b^{2} }}\), dla \(\displaystyle{ z = a + bi}\).
Czyli w tym wypadku Twoim n jest 2, zatem wyników też będzie 2.
Powodzenia
krzyssd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 26 cze 2010, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: J-W

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: krzyssd »

chyba nie w tym wypadku ciekawe jak znajdziesz kat skoro wyjda kosmiczne liczby ten sposob znam ale raczej go tu nie zastosujemy
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: miki999 »

No kąt będzie powiązany funkcją arkus z pewnymi wartościami. I zgadzam się, że wyjdzie kosmos- chyba, że jest jakiś sprytny sposób na to (kojarzę tylko geometryczny).



Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: M Ciesielski »

To jest pierwiastek kwadratowy, więc można zrobić tak:

\(\displaystyle{ z = 18+16i =:w^2}\)

Teraz niech \(\displaystyle{ w=a+bi}\), zatem \(\displaystyle{ w^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi -b^2}\)

Porównujemy:

\(\displaystyle{ 18+16i = a^2-b^2 + 2abi \Rightarrow \begin{cases}a^2-b^2 = 18 \\ 2ab = 16 \end{cases}}\)

Rozwiązujemy układ równań i gra. Wyjdą oczywiście dwa rozwiązania. Z drugiego wyznaczamy dowolną zmienną i wstawiamy do pierwszego.

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: cosinus90 »

Rozwiązanie baQs jest dużo lepsze i dokładniejsze, ślepota z mojej strony
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: miki999 »

Tylko, że układ równań doprowadzi nas do wartości z dwoma pierwiastkami, więc wynik i tak ładny nie będzie.



Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: cosinus90 »

Tak, ale jest to dokładna wartość, a wyznaczenie dokładnej wartości kąta będzie duuużo trudniejsze.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: Mariusz M »

cosinus90, można wyjść ze wzoru de Moivre a później skorzystać z cosinusa/sinusa kąta połówkowego
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: cosinus90 »

No dobrze, ale wyznacz w takim razie dokładną wartość kąta \(\displaystyle{ \varphi}\).
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

obliczyć pierwiastek z liczby zespolonej

Post autor: Mariusz M »

cosinus90, Nie potrzeba wyznaczać kąta wystarczy sam cosinus/sinus kąta no
i oczywiście moduł liczby zespolonej
ODPOWIEDZ