Rozwiazac rownanie + narysuj na plaszczyznie zespolonej

[tehPlayer]

\(\displaystyle{ z^{3} - \left( \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3} }{2} \right) z = 0}\)

juz je troche rozwiazalem, ale nie jestem pewny rozwiazania, bo wyszlo dosc dziwne

dzieki
pozdrawiam

[miodzio1988]

A jaki jest problem? Wystaw \(\displaystyle{ z}\) przed nawias

[tehPlayer]

tzn zrobilem tak ze podzielilem obustronnie przez z i wtedy powstaje mi:
\(\displaystyle{ z = 0 \vee z^{2} - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3} }{2} = 0}\)
i teraz nasuwa sie pytanie: co dalej ?
wyznaczyc z2 i z3 przenoszac na druga strone i pierwiastkujac obustronnie (wtedy nie mam postaci algebraicznej(?)) czy zmienic od razu na postac trygonometryczna korzystajac z \(\displaystyle{ z^{n} = r^{n} \left( cos \alpha + i sin \alpha \right)^{n}}\)
tu tez mam pytanie - co podstawic pod \(\displaystyle{ z^{n}}\)

[Mariusz M]

tehPlayer, Jak masz takie coś to korzystasz z

\(\displaystyle{ a^2-b^2= \left(a-b \right) \left(a+b \right)}\)

Pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+i \sqrt{3} }{2} }}\)
łatwo obliczyć ze wzoru de Moivre

\(\displaystyle{ \left|a+bi \right|= \sqrt{ \frac{1}{4}+ \frac{3}{4} }=1\\
arg \left(a+bi \right)= \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi}=\cos{ \frac{\pi}{6} }+i\sin{ \frac{\pi}{6} }\\
a+bi= \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ z \left(z- \frac{ \sqrt{3} }{2}- \frac{1}{2}i\right)\left(z+\frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2}i\right)=0}\)