Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

Witam , musze wskazać część rzeczywistą i zespoloną takiej liczby
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)}{(2+i)^3}}\)

zrobiłbym to , gdyby nie trzecia potęga w mianowniku .
Jak mam to rozwiązać ? bo mnożenie całości przez mianownik mi nie wychodzi .
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: BettyBoo »

Wzór na \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) znasz? Jeśli nie, to oblicz najpierw \(\displaystyle{ (2+i)^2}\), a potem wymnóż jeszcze przez \(\displaystyle{ (2+i)}\). Dalej standard.

Pozdrawiam.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

no dobra wymnoże mianownik , potem mam pomożyć licznik i mianownik razy mianownik :>?
podstawić i^2=-1 i już :>?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: BettyBoo »

Dla wykonania dzielenia trzeba licznik i mianownik pomnożyć przez liczbę sprzężoną do mianownika (celem uzyskania w mianowniku liczby rzeczywistej). Po skorzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia czy jakichkolwiek innych doprowadź najpierw mianownik do postaci algebraicznej.

Pozdrawiam.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

\(\displaystyle{ \frac{1-i}{(2+i)^3} * \frac{(2-i)^3}{(2-i)^3}}\)
mam rozwiązać takie coś ? bo z tego to mi wyjdzie w mianowniku ze 20 wyrażeń ,o to chodzi :>?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: BettyBoo »

Wydawało mi się, że ustaliliśmy, iż najpierw trzeba znaleźć postać algebraiczną mianownika (czyli innymi słowy - wymnożyć i uprościć co się da). No to zrób tak. A potem pomnóż przez sprzężenie.

Pozdrawiam.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

nie wiem czy liczyłaś to i czy Ci wyszedł dobry wynik , ale ja pomnożyłem jak napisałaś , w mianowniku powstało po wymnożeniu 16 wyrażen , w liczniku 8 i co teraz ?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: BettyBoo »

\(\displaystyle{ (2+i)^3=8+12i+6i^2+i^3=8+12i-6-i=2+11i}\)

Wytłumacz mi teraz, skąd u Ciebie gdziekolwiek wystąpiło 16 wyrażeń?

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie, czyli \(\displaystyle{ 2-11i}\), co Ci daje w mianowniku wzór skróconego mnożenia.

Pozdrawiam.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

nie mówiłaś nic żeby podstawić i^2=-1 ;d
wyszło mi Re=-9/125 i Im=-13/125

w co moge pocałować ?;d
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: BettyBoo »

marcinos124 pisze:nie mówiłaś nic żeby podstawić i^2=-1 ;d
Hehe no to przecież podstawa wszelkich uproszczeń w liczbach zespolonych, uznałam, że nie muszę dokładnie wymieniać wszystkich działań, które tu należy wykonać, żeby to uprościć.
wyszło mi Re=-9/125 i Im=-13/125
I dobrze.
w co moge pocałować ?;d
A w co tam sobie kcesz

Pozdrawiam.
marcinos124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 20 cze 2010, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: marcinos124 »

no to wybieram : w renke
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Wskazać część rzeczywistą i zespoloną

Post autor: Mariusz M »

Najłatwiej to obliczyć przechodząc na postać trygonometryczną

\(\displaystyle{ \left|z_{1} \right|= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ arg \left(z_{1} \right)= -\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ \left|z_{2} \right|= \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ arg \left(z_{2} \right)=\arctan{ \frac{1}{2} }}\)

\(\displaystyle{ \left|z \right|= \frac{ \sqrt{2} }{5 \sqrt{5} }}\)

\(\displaystyle{ arg \left( z\right)=- \frac{\pi}{4}-3\arctan{ \frac{1}{2} }}\)

\(\displaystyle{ \Re{z}= \left|z \right|\cos{arg \left(z \right) }}\)

\(\displaystyle{ \Im{z}= \left|z \right|\sin{arg \left(z \right) }}\)

Przy przechodzeniu do postaci algebraicznej wygodniej będzie argument przedstawić
za pomocą funkcji

\(\displaystyle{ \arcsin{x}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \arccos{x}}\)
ODPOWIEDZ