Zasada maksimum

[Ein]

Cześć.

Potrzebuje drobnej pomocy przy następującym zagadnieniu:

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n}\).
Niech \(\displaystyle{ M(r):=\max_{|z|=r}|P(z)|}\), \(\displaystyle{ f(r):=\frac{M(r)}{r^n}}\). Jak teraz pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca?

Wskazówka była taka, żeby zastosować zasadę maksimum do funkcji \(\displaystyle{ z^nP(1/z)}\).

Próbowałem tak:

\(\displaystyle{ P(z)=a_nz^n+\ldots+a_1z+a_0}\), czyli \(\displaystyle{ f(r)=\frac{\left|z_r^n\right|\left|a_n+\frac{a_{n-1}}{z_r}+\ldots+\frac{a_0}{z_r^n}\right|}{r^n}=\left|a_n+\frac{a_{n-1}}{z_r}+\ldots+\frac{a_0}{z_r^n}\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ z_r}\) realizuje \(\displaystyle{ M(r)}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ r'>r}\) mamy: \(\displaystyle{ f(r')=\left|a_n+\frac{a_{n-1}}{z_{r'}}+\ldots+\frac{a_0}{z_{r'}^n}\right|}\).

Czy teraz z tego widać już, że \(\displaystyle{ f(r')\le f(r)}\)? Czy może właśnie tutaj trzeba zastosować zasadę maksimum? Trochę się gubię.

Ponadto, jeżeli \(\displaystyle{ f(r)=f(r')}\) dla pewnych \(\displaystyle{ r'>r}\), to \(\displaystyle{ P(z)=cz^n}\), gdzie \(\displaystyle{ |c|=1}\) -- niby widać z powyższego, że \(\displaystyle{ a_k=0}\), dla \(\displaystyle{ k=0,\ldots,n-1}\), ale jak widać?

Z góry dzięki za pomoc.

[Wasilewski]

Wystarczy skorzystać ze wskazówki, oczywiście \(\displaystyle{ W(z) = z^{n} P(\frac{1}{z})}\) jest holomorficzna (bo to wielomian) i dla \(\displaystyle{ r<s}\) mamy oczywistą nierówność:
\(\displaystyle{ \max_{|z|\le \frac{1}{r}} |W(z)| \ge \max_{|z|\le \frac{1}{s}} |W(z)|}\).
Jednakowoż, z zasady maksimum (dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\)):
\(\displaystyle{ \max_{|z| \le t} |W(z)| = \max_{|z|=t} |W(z)|}\).
No to liczymy:
\(\displaystyle{ \max_{|z|=\frac{1}{r}} |z^{n} P(\frac{1}{z})| = \max_{|z|=\frac{1}{r}} | \frac{P(\frac{1}{z})}{\frac{1}{z^{n}}}| = \max_{|z|=r} \frac{|P(z)|}{|z^{n}|} = \frac{M(r)}{r^{n}}}\).
A to chyba jest koniec.

[pipol]

Niech \(\displaystyle{ R>r}\) , wtedy z zasady maximum mamy
\(\displaystyle{ f(r)=\max_{|z|=r} \left|\frac{P(z)}{z^n}\right| =\max_{|t|=\frac{1}{r}} \left|t^n P(\frac{1}{t} )\right|=\max_{|t| \le \frac{1}{r}} \left|t^n P(\frac{1}{t} )\right| \ge \max_{|t| \le \frac{1}{R}} \left|t^n P(\frac{1}{t} )\right| =\max_{|t| = \frac{1}{R}} \left|t^n P(\frac{1}{t} )\right|= \max_{|z| =R} \left|\frac{P(z)}{z^n}\right| =f(R)}\)
gdyż funkcja \(\displaystyle{ z^n P(\frac{1}{z} )}\) jest analityczna.