najmniejszy stopien wielomianu

[grell]

Mam takie zadanko: Jaki jest najmniejszy stopień wielomianu dla którego
\(\displaystyle{ w(1)=w(1-i)=1}\) oraz \(\displaystyle{ w(i)=0}\)
Czy jest jakiś sposób na takie zadania czy trzeba sprawdzać po kolei wszystkie stopnie?

I tak przy okazji to jeszcze zadanie 2:
\(\displaystyle{ z^{5} = \vec{z} ^{7}}\)


gdzie \(\displaystyle{ \vec{z}}\) to \(\displaystyle{ z}\) sprzężone, czy trzeba tu zamieniać na a+bi i podnosić do potęgi? :/

[Crizz]

Co do pierwszego zadania: jeśli mamy określonych n punktów, przez które przechodzi wykres wielomianu, to na pewno szukanym wielomianem jest wielomian najwyżej (n-1)-go stopnia.

Szukany wielomian jest stopnia co najmniej drugiego, skoro wielomian \(\displaystyle{ w(x)-1}\) ma dwa miejsca zerowe i nie jest funkcją stałą.

Spróbujmy znaleźć wielomian stopnia dokładnie drugiego, który spełnia podane warunki:
żeby pierwszy warunek był spełniony, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ w(x)-1=a(x-1)(x-1+i)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=a(x^{2}-(2-i)x+1-i)+1}\)
żeby drugi warunek był spełniony, musi zachodzić:
\(\displaystyle{ w(i)=0}\)
\(\displaystyle{ a(-1-2i-1+i+1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ a(-i-1)=1}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{-i-1}=\frac{-1+i}{2}}\)
Dla tak okreslonego a wielomian w jest rozwiązaniem zadania (sprawdź jeszcze obliczenia).

-- 20 czerwca 2010, 10:51 --

Drugie zadanie: oczywiście, że nie trzeba. Wystarczy przedstawić te liczby w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ |z|^{5}e^{i5\phi}=|z|^{7}e^{-i7\phi}}\)
Widzimy po pierwsze, że \(\displaystyle{ |z|^{5}=|z|^{7}}\), czyli \(\displaystyle{ |z|=1}\) i nasze równanie przybiera postać:
\(\displaystyle{ e^{i5\phi}=e^{-i7\phi}}\)

\(\displaystyle{ 5\phi=-7\phi+2k\pi,k \in Z}\)
\(\displaystyle{ 12\phi=2k\pi, k \in Z}\)
\(\displaystyle{ \phi=\frac{k\pi}{6},k \in Z}\)
(tu rozwiązań będzie 12 - ze względu na sprzężenie nie jest to równanie wielomianowe; gdyby sprzężenie przedstawić jako \(\displaystyle{ \overline{z}=\frac{|z|^{2}}{z}}\), ilość rozwiązań staje się oczywista)

[janek_eiti]

Co do pierwszego zadania, ważne jest też jakie mają być współczynniki. Bo wydaje mi się że kolega zapomniał napisać \(\displaystyle{ w\in R \left[x\right]}\) czyli nasze współczynniki mają być rzeczywiste(wiem bo mam przed sobą ten sam egzamin;))

Ale w takim przypadku jest podobnie, tylko musimy pamiętać że nasz stopień musi być taki żeby nam "znikło i". A w \(\displaystyle{ (1-i)^n}\) znika przy n=4

W drugim zadaniu:
\(\displaystyle{ \left|z\right|^{5} = \left|z\right|^{7}}\) ma jeszcze rozwiązanie z=0. Tak więc w naszym przypadku rozwiązań jest 13.