Dane 2 pierwiastki - wskazać równanie

[Feliks1990]

Witam, mam takie oto zadanie:
Równanie wielomianowe stopnia 4 o współczynnikach rzeczywistych, które w dziedzinie zespolonej ma pierwiastki \(\displaystyle{ 1-i \sqrt{3}; -i}\) jest postaci . . . Iloczyn wszystkich pierwiastków tego równania wynosi. . .

Z góry dziękuję za pomoc mądrzejszych ode mnie.
Pozdrawiam:)

[BettyBoo]

Wskazówka: Jeśli pewna liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona również.

Pozdrawiam.

[Feliks1990]

Dziękuje Ci za wskazówkę, nie wiedziałem o takiej zależności,a na pewno się przyda:) Udało mi się zatem policzyć iloczyn pierwiastków(4 jeśli się nie pomyliłem), ale nadal nie wiem jakiej postaci jest wielomian, a konkretnie jak go zapisać. jako iloczyn tych 4 pierwiastków?
pozdrawiam.

[BettyBoo]

Wielomian 4 stopnia ma dokładnie 4 pierwiastki zespolone (to jest wniosek z zasadniczego twierdzenia algebry) - a Ty je wszystkie znasz. No to jasne, jak wygląda? Patrz twierdzenie Bezout.

Pozdrawiam.

[Feliks1990]

czyli \(\displaystyle{ (1-i \sqrt{3};)(1+i \sqrt{3};)(-i)(i)=0}\)?:) Dzięki piękne:)
a co do tego, że wielomian 4go stopnia ma dokładnie 4pierwiastki zespolone, wiem właśnie, że powinno tak być(i jest:) ), ale co przy wielomianie: \(\displaystyle{ z^{4}+2 z^{2}+1=0}\) Ten wielomian sprowadza się do postaci:\(\displaystyle{ (z^{2}+1) ^{2} =0}\), wychodzą więc dwa pierwiastki: i lub -i. a gdzie pozostałe 2?:)

[Afish]

Nie ma, bo ten wielomian ma dwa pierwiastki dwukrotne.

[BettyBoo]

czyli \(\displaystyle{ (1-i \sqrt{3};)(1+i \sqrt{3};)(-i)(i)=0}\)?:) Dzięki piękne:)

O matko matko, a co to za cudo? Powinno być

\(\displaystyle{ F(z)=a(z-i)(z+i)(z-1-i\sqrt{3})(z-1+i\sqrt{3}),\ a\neq 0}\)

Teraz wystarczy wszystko wymnożyć i masz odpowiedź w klasycznej postaci.

Pierwiastki (zespolone) wielomianu stopnia 4 są zawsze 4, co nie znaczy, że muszą być różne.

Pozdrawiam.

[okon]

i jak dobrze licze to wychodzi:
\(\displaystyle{ F(z)=a( z^4-2z^3 + 5z^2-2z+4)}\)

[Mariusz M]

czyli \(\displaystyle{ (1-i \sqrt{3};)(1+i \sqrt{3};)(-i)(i)=0}\)?:) Dzięki piękne:)

O matko matko, a co to za cudo? Powinno być

\(\displaystyle{ F(z)=a(z-i)(z+i)(z-1-i\sqrt{3})(z-1+i\sqrt{3}),\ a\neq 0}\)

Teraz wystarczy wszystko wymnożyć i masz odpowiedź w klasycznej postaci.

Pierwiastki (zespolone) wielomianu stopnia 4 są zawsze 4, co nie znaczy, że muszą być różne.

Pozdrawiam.

To cudo to wyraz wolny zgodnie z odpowiednim wzorem Viete'a
czyli fałsz ponieważ przyrównany jest do zera a żaden z pierwiastków nie jest zerem

Ale w treści zadania jest że trzeba też obliczyć iloczyn tych pierwiastków
czyli niepotrzebnie przyrównał do zera

Ten iloczyn można prosto obliczyć

\(\displaystyle{ \left|z_{1} \right|^{2} \left|z_{2} \right|^{2} =2^2 \cdot 1^2=4}\)
Postać iloczynowa tego równania jest taka jak napisała Betty