Rownanie z zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ToRo999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 lis 2006, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Rownanie z zespolonych

Post autor: ToRo999 »

Mam odpowiedziec tak lub nie. Obliczyć umiem, nie wiem jednak co ma jedno z drugim wspolnego ze jesli cos to cos?? Jak to sie rozpatruje?

\(\displaystyle{ z^*}\) sprzezone

a)
Jeśli \(\displaystyle{ z^3 = z^*}\) to \(\displaystyle{ z^2 = z}\)
b)
Jeśli \(\displaystyle{ -z = z^*}\) to \(\displaystyle{ z^2}\) nalezy do R
c)
Jeśli \(\displaystyle{ z^2 = z}\) to \(\displaystyle{ zz^*=|z|}\)
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Rownanie z zespolonych

Post autor: Crizz »

b) Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\).

Mamy \(\displaystyle{ -z=\overline{z}}\)
\(\displaystyle{ -x-yi=x-yi}\)
Z kryterium równości liczb zespolonych, jeśli dwie liczby zespolone są równe, to odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone są równe, czyli
\(\displaystyle{ -x=x}\)
\(\displaystyle{ -yi=-yi}\) (równośc jest zawsze prawdziwa)
\(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ y\in \Re}\)
W takim razie \(\displaystyle{ z=yi}\), czyli \(\displaystyle{ z^{2}=-y^{2}\in \Re}\)

-- 17 czerwca 2010, 21:09 --

c) Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\). Wówczas \(\displaystyle{ z\overline{z}=(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ z=z^{2}}\), to \(\displaystyle{ |z|=|z^{2}|}\), czyli \(\displaystyle{ z\overline{z}=|z|}\)

-- 17 czerwca 2010, 21:12 --

a) Kontrprzykład: dla \(\displaystyle{ z=-1}\) mamy \(\displaystyle{ z^{3}=(-1)^{3}=-1=\overline{z}}\), ale \(\displaystyle{ z^{2}=1 \neq z}\)
ToRo999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 lis 2006, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Rownanie z zespolonych

Post autor: ToRo999 »

Dzieki za pomoc.

Dla przykladu
\(\displaystyle{ z^3=z^*}\) to z nalezy do R

Odpowiedz bedzie NIE bo np. i lub -i tez jest rozwiazaniem, dobrze rozumiem?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Rownanie z zespolonych

Post autor: Crizz »

Dobrze.
ODPOWIEDZ