Pierwiastek i potęga liczb zespolonych

[skagatka]

Bardzo proszę o pomoc.. Starałam się rozwiązać przykład b), ale jakieś dziwne mi rzeczy wychodzą jak \(\displaystyle{ W_{0}= \sqrt[4]{2} (\cos \frac{5\pi}{12} +i\sin \frac{5\pi}{12})}\)..
\(\displaystyle{ a) (\frac{5-i}{2-3i}) ^{14}}\)
\(\displaystyle{ b) \sqrt[4]{1-i \sqrt{3} }}\)

[kolorowe skarpetki]

Zadanie 1

\(\displaystyle{ \frac{5-i}{2-3i}=\frac{(5-i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{10+15i-2i+3}{4+9}=\frac{13i+13}{13}=1+i=a+bi}\)

Trzeba zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, aby później skorzystać ze wzoru de Moivre'a :

\(\displaystyle{ z^n=\vert z \vert ^n \left ( \cos (\varphi n)+i \sin (\varphi n) \right)}\)

Postać trygonometryczna : \(\displaystyle{ z =\vert z \vert \left ( \cos \varphi +i \sin \varphi\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) argument liczby zespolonej z.

\(\displaystyle{ \vert z \vert=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi =\frac{a}{\vert z \vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\\
\sin \varphi =\frac{b}{\vert z \vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \, \Longrightarrow \, \varphi =\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ 1+i=\sqrt{2} \left (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right )}\)

\(\displaystyle{ (1+i)^{14}=(\sqrt{2})^{14} \left (\cos \frac{14\pi}{4} + i \sin \frac{14\pi}{4} \right )=128 \cdot (0-i)=-128i}\)