Obliczyć: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n }sinkx}\), korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej.
Mianowicie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ 1+ e^{ix}+ e^{2ix}+ ... + e^{nix} = \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} } \Leftrightarrow 1+(cosx+isinx)+(cos2x+isin2x)+...+(cosnx+isinnx)= \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
Z tego mamy: \(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx=Im \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
I teraz nie wiem jak mam policzyć część urojoną tego \(\displaystyle{ \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
Z góry bardzo dziękuje za pomoc
Obliczanie sumy sinusów korzystając z postaci wykładniczej
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Obliczanie sumy sinusów korzystając z postaci wykładniczej
Powinno być bez tej jedynki na początku (sumujemy od \(\displaystyle{ k=1}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\)).kocica pisze:Mianowicie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ 1+ e^{ix}+ e^{2ix}+ ... + e^{nix}}\)
Aby obliczyć część urojoną przemnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1 - e^{-ix}}\) - w mianowniku otrzymasz liczbę rzeczywistą i wystarczy wyznaczyć część urojoną licznika.