Obliczanie sumy sinusów korzystając z postaci wykładniczej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kocica
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 14 maja 2008, o 13:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Obliczanie sumy sinusów korzystając z postaci wykładniczej

Post autor: kocica »

Obliczyć: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n }sinkx}\), korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej.
Mianowicie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ 1+ e^{ix}+ e^{2ix}+ ... + e^{nix} = \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} } \Leftrightarrow 1+(cosx+isinx)+(cos2x+isin2x)+...+(cosnx+isinnx)= \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
Z tego mamy: \(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx=Im \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
I teraz nie wiem jak mam policzyć część urojoną tego \(\displaystyle{ \frac{1- e^{(n+1)ix}}{1- e^{ix} }}\)
Z góry bardzo dziękuje za pomoc
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Obliczanie sumy sinusów korzystając z postaci wykładniczej

Post autor: luka52 »

kocica pisze:Mianowicie mam coś takiego:
\(\displaystyle{ 1+ e^{ix}+ e^{2ix}+ ... + e^{nix}}\)
Powinno być bez tej jedynki na początku (sumujemy od \(\displaystyle{ k=1}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\)).
Aby obliczyć część urojoną przemnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1 - e^{-ix}}\) - w mianowniku otrzymasz liczbę rzeczywistą i wystarczy wyznaczyć część urojoną licznika.
ODPOWIEDZ