Dowód na liczbach zespolonych

[pelas_91]

Niech: \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{C} \wedge a \neq b \neq c \wedge |a|=|b|=|c|}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ |b+c-a|=|a| \Rightarrow b+c=0}\)

Niestety jedyne do czego dochodzę, to: \(\displaystyle{ (x_b+x_c-2x_a)(x_b+x_c)=(y_b+y_c)(2y_a-y_b-y_c)}\). Nie wiem jak pokazać, że ta równość jest równoważna: \(\displaystyle{ \begin{cases} x_b+x_c=0 \\ y_b+y_c=0 \end{cases}}\) bo to by kończyło dowód.

Natomiast gdy spróbowałem wprowadzić literkę: \(\displaystyle{ |a|=|b|=|c|=r}\) to dostałem tyle: \(\displaystyle{ r^2=x_a(x_b+x_c)-x_b x_c + y_a(y_b+y_c) - y_b y_c}\)

[Yaco_89]

Nie wiem czy takim sposobem jakim zacząłeś da się jakoś sensownie to dokończyć, ale jeśli się nie pomyliłem to wychodzi w miarę fajnie z postaci trygonometrycznej (zauważ że tutaj wystarczy pokazać równość argumentów, czyli dwóch liczb, a nie dwóch par liczb jak w Twojej próbie).

[frej]

\(\displaystyle{ \left| x \right| = \left|y \right| \Leftrightarrow \left| x \right|^2 = \left|y \right|^2}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right|^2 = x \overline{x}}\)

[pelas_91]

\(\displaystyle{ \left| x \right| = \left|y \right| \Leftrightarrow \left| x \right|^2 = \left|y \right|^2}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right|^2 = x \overline{x}}\)

Wygląda ładnie i bardzo znajomo. Ale gdzie to zastosować? Ciut większa ta wskazówka niech będzie bo robocze przekształcanie nie pomogło.

[frej]

Spróbuj pogrupować, to co zostało po wymnożeniu \(\displaystyle{ \left( b+c-a \right) \left( \overline{b}+\overline{c}-\overline{a} \right) = \left| a \right|^2}\)

[pelas_91]

Spróbuj pogrupować, to co zostało po wymnożeniu \(\displaystyle{ \left( b+c-a \right) \left( \overline{b}+\overline{c}-\overline{a} \right) = \left| a \right|^2}\)

No to jedziemy:
\(\displaystyle{ |b|^2+|c|^2+|a|^2+b\overline{c}-b\overline{a}+c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-a\overline{c}=|a|^2\\
|b|^2+|c|^2+(b\overline{c}+c\overline{b})-(a\overline{b}+b\overline{a})-(a\overline{c}+c\overline{a})=0}\)
Zróbmy sobie iloczyn rzeczywisty:
\(\displaystyle{ |b|^2+|c|^2+2b\ast c-2a\ast b - 2a\ast c =0\\
(b+c)\ast (b+c)-2a\ast (b+c)=0\\
(b+c)\ast (b+c-2a)=0}\)
No ale przecież chyba z tego że iloczyn rzeczywisty jest równy 0 nie wynika nam od razu, że \(\displaystyle{ b+c=0}\). Albo inczej... Wynika tylko ja tego nie widzę?

[frej]

\(\displaystyle{ \left| b \right|^2 + \left| c\right|^2 + 2 b\circ c - 2a\circ b - 2a \circ c =0}\)
Pamiętając, że moduły są równe dostajesz po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) następującą równość
\(\displaystyle{ \left| a \right|^2 + b \circ c - a\circ b -a\circ c=0}\)
\(\displaystyle{ (a-c) \circ (a-b)=0}\)

[pelas_91]

No dobrze ale czy ta równość mi coś daje?
Wymnażanie tego zgodnie z def. iloczynu rzeczywistego niewiele daje.
Nic też moim zdanie nie wnosi informacja płynąca z ostatniej linijki, że \(\displaystyle{ BA \perp CA}\).

-- 4 czerwca 2010, 21:12 --

W sumie jakby się udało pokazać, że |BA|=|CA| to korzystając z tej prostopadłości można udowodnić to co chcą w zadaniu. Ale jak teraz pokazać, że |BA|=|CA|?

-- 5 czerwca 2010, 07:12 --

Olśnienie..... Mam! Powyższa linijka nie istnieje.

-- 5 czerwca 2010, 11:31 --

Mianowicie -> Mamy trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku w początku płaszczyzny zespolonej (bo \(\displaystyle{ |a|=|b|=|c|}\). Jednocześnie jest to trójkąt prostokątny więc środek przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ M(\frac{b+c}{2})}\) jest jednocześnie środkiem tego okręgu = jest początkiem płaszczyzny zespolonej.
Zatem \(\displaystyle{ b+c=0}\)

[frej]

Brawo, bardzo dobrze dokończyłeś