Iloczyn rzeczywisty - zad. geometryczne

[pelas_91]

Punkty M, N, P, Q, R, S są środkami odpowiednio boków AB, BC, CD, DE, EF, FA wypukłego sześciokąta. Wykazać, że: \(\displaystyle{ RN^2=MQ^2+PS^2 \Leftrightarrow MQ \perp PS}\).

Moje nieudane rozwiązanie:

Nanieśmy sześciokąt na płaszczyznę zespoloną. Niech: A(a), B(b), C(c), ... R(r), S(s).
Wówczas: \(\displaystyle{ m=\frac{b-a}{2} \ n=\frac{c-b}{2} \ ... \ s=\frac{a-f}{2}}\). (*)

Wszystkie poniższe przekształcenia są równoważne:

\(\displaystyle{ RN^2=MQ^2+PS^2\\
|n-r|^2=|q-m|^2+|s-p|^2}\)

Własność iloczynu rzeczywistego: \(\displaystyle{ a \ast a = |a|^2}\).

\(\displaystyle{ (n-r)\ast(n-r) = (q-m)\ast(q-m) + (s-p)\ast(s-p)}\)

Teraz wszystko ładnie wymnażam. Podstawiam zgodnie z linijką (*) i wymnażam obustronnie przez 4.
Znów wszystko wymnażam, redukuje wyrazy podobne i wszystko przenoszę na jedną stronę.

\(\displaystyle{ e\ast a + e\ast f -d\ast a + d \ast f - e\ast d - e\ast c + d\ast d - d\ast c - b\ast a - b\ast f + a\ast a- a\ast f + b\ast d + b\ast c - a\ast d + a\ast c = 0}\)

Teraz robię taki "myczek":

\(\displaystyle{ (e\ast a - e\ast f -d\ast a + d \ast f ) - (e\ast d - e\ast c - d\ast d + d\ast c) - (b\ast a - b\ast f - a\ast a+ a\ast f) + (b\ast d - b\ast c - a\ast d + a\ast c) = -2e\ast f + 2e\ast c +2b\ast f -2b\ast c}\)

Zwijamy:
\(\displaystyle{ (e-d)\ast (a-f) - (e-d)\ast (d-c) - (b-a)\ast (a-f) + (b-a)\ast (d-c) = 2(f-c)\ast (b-e)}\)

Teraz dzielimy obustronnie przez 4 i wykorzystujemy (*):
\(\displaystyle{ q \ast s - q\ast p - m\ast s + m\ast p = \frac{1}{2}(f-c)\ast (b-e)\\
(q-m)\ast (s-p) = \frac{1}{2}(f-c)\ast (b-e)}\)

I tu mam duży problem. Muszę teraz jakoś pokazać, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(f-c)\ast (b-e)=0}\) bo wtedy mogę dopisać magiczne dwie równoważne linijki:

\(\displaystyle{ (q-m)\ast (s-p)=0\\
MQ \perp PS}\)

Niestety nie umiem pokazać tej brakującej równości.

Proszę o pomoc!

[timon92]

Da się tego dowieść bez zespolonych. Przydadzą się dwa lematy i trochę miejsca na kartce (jest trochę liczenia).

Lemat 1. Rozważmy czworokąt wypukły \(\displaystyle{ KLMN}\). Zachodzi \(\displaystyle{ KM \perp LN \Leftrightarrow KL^2+MN^2=LM^2+NK^2}\). Dowód: w jedna stronę tw. Pitagorasa, a w drugą stronę tw. cosinusów.

Lemat 2. Rozważmy czworokąt wypukły \(\displaystyle{ KLMN}\), oznaczmy środki boków \(\displaystyle{ KL, MN}\) przez \(\displaystyle{ P, Q}\). Zachodzi \(\displaystyle{ 4PQ^2=LM^2+LN^2+KM^2+KN^2-KL^2-MN^2}\). Dowód: wzór na środkową trójkąta.

[pelas_91]

Tylko, że moim zadaniem jest udowodnić to właśnie przy zastosowaniu liczb zespolonych. Szanuję inne metody, ale chwilowo mnie nie interesują.

AD. Lemat 1 - jest mi znany. Dowodzi się go bardzo szybko na liczbach zespolonych [pół strony A5] za pomocą równoważności.

[frej]

\(\displaystyle{ m=\frac{a+b}{2}}\)

[pelas_91]

\(\displaystyle{ m=\frac{a+b}{2}}\)

No tak, nie ma to jak ktoś sobie coś błędnie ubzdura. I strona A4 do wyrzucenia. Zrobię podejście drugie i dam znać czy wychodzi...-- 4 czerwca 2010, 20:56 --Faktycznie, bardzo ładnie wychodzi taką samą metodą jak poprawnie się wstawi m, n, ...., s