obliczenie residum

[Jacek_fizyk]

znalezc punkty osobliwe, oraz obliczyc odpowiadajace residua

\(\displaystyle{ 1) f(z)= \frac{1}{(z^2+5z+6)^2}}\)

znalazlem dwa bieguny dwukrotne
\(\displaystyle{ z_{1}=-2, z_{2}=-3}\)

licze residum dla kazdego z nich
\(\displaystyle{ Res f(z)_{z\to\ -3}= \lim_{z\to\ -3}\frac{d}{dz}[\frac{1}{[(z+3)(z+2)]^2}(z+3)^2]=\frac{-2}{(-1)^3}= 2}\) czy jest dobrze?

\(\displaystyle{ Res f(z)_{z\to\ -3}= \lim_{z\to\ -3}\frac{d}{dz}[\frac{1}{[(z+3)(z+2)]^2}(z+2)^2]=\frac{-2}{(1)^3}= 2}\)

2) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{e^{z^2+4}}}\)

czy punktami osobliwymi beda z=2i oraz z=-2i?
robie gdzies blad przy liczeniu residum, ktos moze policzyc?

[azonips]

znalezc punkty osobliwe, oraz obliczyc odpowiadajace residua

2) \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{e^{z^2+4}}}\)

czy punktami osobliwymi beda z=2i oraz z=-2i?
robie gdzies blad przy liczeniu residum, ktos moze policzyc?

Wydaje mi sie, że mianownik \(\displaystyle{ f(z)}\) nigdy nie jest zerem (czy istnieje t aby jednocześnie sin(t) i cos(t) były zerami?), więc nie ma żadnych biegunów i punktów osobliwych i zostaje tylko część regularna w szeregu Laurenta. Tak mi się wydaje, bo nie uważam się za fachowca w analizie zespolonej.

[max]

Istotnie funkcja \(\displaystyle{ f}\) w punkcie 2. jest holomorficzna, albowiem \(\displaystyle{ f(z) = e^{-z^{2} - 4}}\) jest złożeniem funkcji holomorficznych. Innymi słowy punktów osobliwych brak.

[Zordon]

Residua można sprawdzić w wolframalpha Wystarczy wpisać residuum(f(z)), gdzie \(\displaystyle{ f}\) to nasza funkcja. Niestety, nie zawsze podaje wszystkie punkty osobliwe, ale dla prostych funkcji ładnie działa.