Wyprowadzenie wzoru Eulera

[etyre]

Witam.
Ostatnio zajmuję się liczbami zespolonymi, już trochę się z nimi "obyłem", poznałem fundamentalne twierdzenia etc. Teraz interesują mnie różnego typu dowody. Przy postaci wykładniczej mówi się często o wzorze Eulera:

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi,}\)

z którego niemal natychmiast dostajemy postać wykładniczą.

Zaciekawił mnie sam wzór Eulera i kwestia jego dowodu. Samodzielnie jestem w stanie przeprowadzić dowód, korzystając z szeregów potęgowych (właściwie potrafię zrozumieć dowód, który znalazłem, samodzielnie, przy obecnym stanie wiedzy, bym na niego nie wpadł). Widziałem też skrótowy dowód korzystający z rachunku różniczkowego i całkowego (zastanawiałem się przez to też, w którym dziale temat umieścić, padło jednak na dział "liczby zespolone").

Zaczyna się banalnie:
Mamy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=\cos\varphi+i\sin\varphi}\), różniczkujemy po zmiennej \(\displaystyle{ \varphi}\) (sformułowanie "po zmiennej \(\displaystyle{ \varphi}\)" jest dla mnie trochę niejasne, po jakiej innej moglibyśmy różniczkować? [wybaczcie niewiedzę w kwestiach podstawowych, dopiero staram się poznawać fundamenty analizy]) i otrzymujemy: \(\displaystyle{ z'=-\sin\varphi+i\cos\varphi=i^2\sin\varphi+i\cos\varphi=i(\cos\varphi+i\sin\varphi)=iz}\). Dostajemy równanie typu \(\displaystyle{ z'=zi}\). Co dalej? W znalezionym przeze mnie dowodzie była mowa o równaniu różniczkowym typu \(\displaystyle{ \frac{dz}{d\varphi}=iz}\), należało pomnożyć je przez \(\displaystyle{ d\varphi}\), podzielić przez \(\displaystyle{ z}\), obustronnie scałkować i uwzględnić warunek brzegowy, po czym wychodził niemal na tacy wzór Eulera.

Szczerze mówiąc, nie umiem jeszcze rozwiązywać równań różniczkowych, zaczynam dopiero poważniej interesować się rachunkiem całkowym. W każdym razie - proszę o pokazanie wyprowadzenia woru Eulera przy użyciu równań różniczkowych/rachunku całkowego. Będę wdzięczny za kilka słów komentarza przy każdym przejściu etc. Wybaczcie moją niewiedzę, uczę się samodzielnie i dopiero zaczynam te zagadnienia. Nauka przez próbę zrozumienia tego typu rzeczy jest dla mnie łatwiejsza i szybsza (i bardziej owocna).

Dziękuję z góry

[filip.wroc]

ja bym to zrobil ciutke inaczej:
\(\displaystyle{ {e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\\
\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\\
\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots}\)
Teraz z pierwszego wzoru rozwinmy
\(\displaystyle{ e^{-ix}=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-ix)^n}{n!}}\)
i zauwazmy ze mozemy rozbic to na dwie sumy (dla n parzystych i nieparzystych):
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-i)^{2n+1}}{(2n+1)!} (x^{2n+1}) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{2n+1} \cdot i}{(2n+1)!} (x^{2n+1})}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-i)^{2n}}{(2n)!} x^{2n} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}}\)
czyli \(\displaystyle{ e^{-ix}=cosx + i sin x}\)
to tylko zarys, trzeba w kazdym kroku sie dokladnie zastanowic co jest parzyste, co znika do -1, etc.

[etyre]

Rzecz w tym, że napisałem w pierwszym poście:

Samodzielnie jestem w stanie przeprowadzić dowód, korzystając z szeregów potęgowych

Ty właśnie korzystasz przy dowodzie z szeregów potęgowych (choć moja "wersja" wygląda nieco inaczej, jednak to wciąż szeregi potęgowe ), mnie interesuje dokładne wyjaśnienie dowodu, który opiera się na równaniach różniczkowych. Ale dzięki za zainteresowanie

Edit:
znalazłem to, czego szukałem: .
Dowód, który mnie interesował wygląda mniej więcej tak:

Mamy: \(\displaystyle{ z=\cos\varphi+i\sin\varphi}\). Różniczkujemy po zmiennej \(\displaystyle{ \varphi}\):

\(\displaystyle{ \frac{dz}{d\varphi}=-\sin\varphi+i\cos\varphi=\ldots =iz}\)

Mamy różniczkę (? orginalnie: Take differentials):

\(\displaystyle{ dz=izd\varphi}\)

Z definicji logarytmu naturalnego:

\(\displaystyle{ \ln{x}=\int \frac{dx}{x}}\)

Zastosujmy to do naszej zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ z}\):

\(\displaystyle{ \ln z = \int \frac{dz}{z} = \int \frac{iz}{z} \, {d\varphi} =i \varphi}\)

Z czego dostajemy:

\(\displaystyle{ e^{\ln{z}}=e^{i\varphi}}\)

Łącząc to z naszą definicją \(\displaystyle{ z}\) mamy:

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}\)