Ostatnio zajmuję się liczbami zespolonymi, już trochę się z nimi "obyłem", poznałem fundamentalne twierdzenia etc. Teraz interesują mnie różnego typu dowody. Przy postaci wykładniczej mówi się często o wzorze Eulera:
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi,}\)
z którego niemal natychmiast dostajemy postać wykładniczą. Zaciekawił mnie sam wzór Eulera i kwestia jego dowodu. Samodzielnie jestem w stanie przeprowadzić dowód, korzystając z szeregów potęgowych (właściwie potrafię zrozumieć dowód, który znalazłem, samodzielnie, przy obecnym stanie wiedzy, bym na niego nie wpadł). Widziałem też skrótowy dowód korzystający z rachunku różniczkowego i całkowego (zastanawiałem się przez to też, w którym dziale temat umieścić, padło jednak na dział "liczby zespolone").
Zaczyna się banalnie:
Mamy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=\cos\varphi+i\sin\varphi}\), różniczkujemy po zmiennej \(\displaystyle{ \varphi}\) (sformułowanie "po zmiennej \(\displaystyle{ \varphi}\)" jest dla mnie trochę niejasne, po jakiej innej moglibyśmy różniczkować? [wybaczcie niewiedzę w kwestiach podstawowych, dopiero staram się poznawać fundamenty analizy]) i otrzymujemy: \(\displaystyle{ z'=-\sin\varphi+i\cos\varphi=i^2\sin\varphi+i\cos\varphi=i(\cos\varphi+i\sin\varphi)=iz}\). Dostajemy równanie typu \(\displaystyle{ z'=zi}\). Co dalej? W znalezionym przeze mnie dowodzie była mowa o równaniu różniczkowym typu \(\displaystyle{ \frac{dz}{d\varphi}=iz}\), należało pomnożyć je przez \(\displaystyle{ d\varphi}\), podzielić przez \(\displaystyle{ z}\), obustronnie scałkować i uwzględnić warunek brzegowy, po czym wychodził niemal na tacy wzór Eulera.
Szczerze mówiąc, nie umiem jeszcze rozwiązywać równań różniczkowych, zaczynam dopiero poważniej interesować się rachunkiem całkowym. W każdym razie - proszę o pokazanie wyprowadzenia woru Eulera przy użyciu równań różniczkowych/rachunku całkowego. Będę wdzięczny za kilka słów komentarza przy każdym przejściu etc. Wybaczcie moją niewiedzę, uczę się samodzielnie i dopiero zaczynam te zagadnienia. Nauka przez próbę zrozumienia tego typu rzeczy jest dla mnie łatwiejsza i szybsza (i bardziej owocna).
Dziękuję z góry