Dowód, że liczba jest rzeczywista

[pelas_91]

Treść zadania:

Niech \(\displaystyle{ z_1,z_2,z_3,...,z_n \in \mathbb{C}_*}\) oraz \(\displaystyle{ |z_1|=|z_2|=...=|z_n|=r > 0}\).
Wykazać, że wówczas: \(\displaystyle{ E=\frac{(z_1+z_2)(z_2+z_3)...(z_{n-1}+z_n)(z_n+z_1)}{z_1z_2z_3...z_n} \in \mathbb{R}}\)

Domyślam się, że najłatwiej będzie wykazać to, jeśli pokażę, że \(\displaystyle{ \overline{E}=E}\), jednak nie mam pomysłu jak wykorzystać tę informację o równych modułach. Nie wydaje mi się żeby prawdą było, że \(\displaystyle{ z_n=\overline{z_n}}\) natomiast zauważyłem że z modułami taka równość byłaby już prawdziwa.

Proszę o wskazówkę.

[miodzio1988]

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) zobacz czy się zgadza najpierw. Zobaczysz co mniej więcej trzeba robić, żeby to udowodnić.

[pelas_91]

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) zobacz czy się zgadza najpierw. Zobaczysz co mniej więcej trzeba robić, żeby to udowodnić.

Wstawiłem i dostaję:
\(\displaystyle{ E=\frac{[(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)]^2}{(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)} \\
\overline{E}=\frac{[(x_1+x_2)-i(y_1+y_2)]^2}{(x_1x_2-y_1y_2)-i(x_1y_2+x_2y_1)}}\)
i przekształcając to dalej dostaję brzydactwa, których równości nie umiem udowodnić.

[miodzio1988]

W ogóle to bym poszukał kontrprzykładu najpierw (tak by było szybciej)
Jak się nie znajdzie nic to pomyślimy


1)\(\displaystyle{ z=x+iy}\) nie radzę robić takiego przekształcenia.
2) \(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z= \left|z \right| ^{2}}\) ja bym z tą rownością kombinował. Jak nie będzie szło to zrobię to jak wrócę do domu.

btw chyba zle to rozpisales.

[Wasilewski]

To jest dość jasne, wystarczy zobaczyć, czym jest ten iloczyn w liczniku i pogrupować w pary sprzężone elementy. Jak weźmiesz, na przykład, wyraz \(\displaystyle{ z_{1}^2 \cdot z_{2} \cdot \ldots \cdot z_{n-1}}\), to po podzieleniu przez mianownik zostanie Ci \(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{n}}}\); nietrudno teraz zobaczyć, że sprzężeniem tego jest \(\displaystyle{ \frac{z_{n}}{z_{1}}}\), czyli trzeba to sparować z \(\displaystyle{ z_{2} \cdot \ldots \cdot z_{n-1} \cdot z_{n}^2}\).

[pelas_91]

nietrudno teraz zobaczyć, że sprzężeniem tego jest \(\displaystyle{ \frac{z_{n}}{z_{1}}}\), czyli trzeba to sparować z \(\displaystyle{ z_{2} \cdot \ldots \cdot z_{n-1} \cdot z_{n}^2}\).

ta końcówka nie szczególnie zrozumiała jest dla mnie

[Wasilewski]

Ale czego konkretnie nie rozumiesz? Tego, że \(\displaystyle{ \frac{z_{n}}{z_{1}}}\) jest sprzężeniem \(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{n}}}\) (co jest oczywiste, ponieważ sprzężenie liczby zespolonej o module równym 1 to jej odwrotność), czy też tego, że \(\displaystyle{ \frac{z_{n}}{z_{1}} \cdot z_{1} \cdot \ldots \cdot z_{n} = z_{2} \cdot \ldots \cdot z_{n-1} \cdot z_{n}^2}\) (co jest raczej jasne)?

[pelas_91]

sprzężenie liczby zespolonej o module równym 1 to jej odwrotność)

O tym zwyczajnie nie wiedziałem...
I mam do tego chyba prawo, nie jestem studentem matematyki tylko świeżo upieczonym absolwentem liceum. Liczby zespolone są właśnie na pewnym kółku i próbuję się z nimi męczyć, a wiem z nich tyle ile nam powiedziano na kółku. Tego akurat nam nie powiedziano...
Trochę więcej zrozumienia Za rok to o czym mówisz też pewnie będzie dla mnie oczywiste i banalne

[Wasilewski]

Ja rozumiem, że można czegoś nie wiedzieć, ale nie pojmuję, dlaczego piszesz, że coś jest niejasne, nie wskazując na konkretny problem.
W międzyczasie pomyślałem też o innym rozwiązaniu. Zauważmy najpierw, że
\(\displaystyle{ 1 + e^{i\varphi} = 1 + cos(\varphi) + i sin(\varphi) = 2cos^{2}(\frac{\varphi}{2}) + i \cdot 2sin(\frac{\varphi}{2})\cdot cos(\frac{\varphi}{2}) = 2cos(\frac{\varphi}{2}) \cdot e^{i\frac{\varphi}{2}}}\).
Oznaczmy sobie:
\(\displaystyle{ z_{k}= r e^{i\varphi_{k}}}\).
Wystarczy teraz zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})\cdot \ldots \cdot (z_{n}+z_{1})}{z_{1}z_{2}\cdot \ldots \cdot z_{n}} = \left(1+\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\left(1 +\frac{z_{3}}{z_{2}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{z_{1}}{z_{n}}\right)}\),
a następnie skorzystać z pierwszego spostrzeżenia.

[pelas_91]

Przeprowadziłem ciekawe doświadczenie jakiego jeszcze w życiu się nie podjąłem. Zainspirowany Twoją wypowiedzią zacząłem sobie wymnażać w wyobraźni te n nawiasów i kombinatorycznie zastanawiać się nad poszczególnymi wyrazami sumy z licznika. Dzieląc je przez mianownik dostałem coś takiego:
\(\displaystyle{ E=2+\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_1}{z_n}+\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_2}+\frac{z_3}{z_4}+...+\frac{z_n}{z_1}+\frac{z_n}{z_{n-1}}}\)
Czy to jest poprawne? Bo jeśli tak to chyba mam rozwiązanie.

[Wasilewski]

Tak, właśnie coś takiego wyjdzie.

[pelas_91]

No niestety okazało się, że byłem w błędzie, ale korzystając z poniższej uwagi oraz faktu z sprzężeniem, którego nie znałem bardzo szybko wychodzi dobrze

Wystarczy teraz zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})\cdot \ldots \cdot (z_{n}+z_{1})}{z_{1}z_{2}\cdot \ldots \cdot z_{n}} = \left(1+\frac{z_{2}}{z_{1}}\right)\left(1 +\frac{z_{3}}{z_{2}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{z_{1}}{z_{n}}\right)}\),

Powyższy zapis wystarczy tylko uzupełnić o "drugie spojrzenie":
\(\displaystyle{ \frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})\cdot \ldots \cdot (z_{n}+z_{1})}{z_{1}z_{2}\cdot \ldots \cdot z_{n}} = \left(\frac{z_1}{z_2}+1 \right) \left(\frac{z_2}{z_3}+1 \right) ... \left(\frac{z_n}{z_1}+1 \right)=\overline{E}}\)