Jak policzyć deltę dla równ. kwadratowego?

[ArekBulski]

Mam problemy z policzeniem pierwiastka z delty w równaniu kwadratowym. Proszę o podpowiedź.

\(\displaystyle{ (z^3+8)(z^2 + (2-3i)z +1-3i) = 0}\)

Umiem policzyć deltę ale nie wiem jak ją spierwiastkować. Gdyby to była liczba czysto rzeczywista ujemna to zrobiłbym prosty trik w rodzaju:
\(\displaystyle{ \Delta = -5 \rightarrow \Delta = 5 i^2 \rightarrow \sqrt{\Delta}= \pm \sqrt{5}i}\)

Niestety tak nie jest i jestem zgubiony... delta dla tego zadania wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta = (2-3i)^2-4(1)(1-3i)}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -5 -12i}\)

O jakąś podpowiedź można prosić?

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sqrt{-5 -12i} =z}\)
\(\displaystyle{ z ^{2}=-5 -12i}\)
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)

i liczysz wspolczynniki :d

[ArekBulski]

Ehh, przepraszam za mącenie tutaj wody... ja tam zgubiłem połowę równania...

\(\displaystyle{ (z^3+8)(z^2 + (2-3i)z +1-3i) = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (2-3i)^2-4(1)(1-3i)}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -5 -12i -4 +12i}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -9}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 9i^2 \rightarrow \sqrt{\Delta}= \pm 3i}\)

Czy to znaczy że wyróżnik równania kwadratowego jest zawsze liczbą czysto rzeczywistą, nawet gdy współczynniki są zespolone?

\(\displaystyle{ z_1 = \frac{-2+3i-3i}{2}= -1 \vee z_2 = \frac{-2+3i+3i}{2}= -1+3i}\)

[Ein]

Czy to znaczy że wyróżnik równania kwadratowego jest zawsze liczbą czysto rzeczywistą, nawet gdy współczynniki są zespolone?

Nie musi być. Dla równania \(\displaystyle{ z^2+i=0}\) mamy: \(\displaystyle{ \Delta=-4i}\).

Po prostu dla liczb zespolonych nie musisz delty z niczym porównywać. Trójmian ma zawsze (!) 2 pierwiastki zespolone (co wynika, z zasadniczego twierdzenia algebry).