Jak obliczyć np. takie coś:
\(\displaystyle{ i^{i}}\)
Gdzie i to oczywiście jedynka urojona.
Potęga o wykładniku zespolonu
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Potęga o wykładniku zespolonu
Zazwyczaj przyjmuje się tak:
\(\displaystyle{ i^{i}=e^{i\log i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \log}\) jest gałęzią główną logarytmu zespolonego. Zatem \(\displaystyle{ \log i}\) to taka liczba \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ e^y=i}\) (oraz dodatkowe warunki na część urojoną), można wyliczyć, że \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}i}\). Czyli:
\(\displaystyle{ e^{i\log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}}\)
\(\displaystyle{ i^{i}=e^{i\log i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \log}\) jest gałęzią główną logarytmu zespolonego. Zatem \(\displaystyle{ \log i}\) to taka liczba \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ e^y=i}\) (oraz dodatkowe warunki na część urojoną), można wyliczyć, że \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}i}\). Czyli:
\(\displaystyle{ e^{i\log i}=e^{i(\frac{\pi}{2}i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}}\)