mnozenie szeregow

[tomcza]

Zad.
Mam podane: \(\displaystyle{ e^{x}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n}}{n!}}\).
\(\displaystyle{ e^{iy}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(iy)^{n}}{n!}}\)
Teraz musze wymnozyc te szeregi:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n}}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(iy)^{n}}{n!}}\)

Wiem ze to jest chyba jakos ze schematu Caugchego ale nie wiem jak to zrobic;)

[Kamil_B]

Szereg, który otrzymasz jest postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ c_{n}= \sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}\) dla \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{x^n}{n!}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{(iy)^{n}}{n!}}\).
Do wyliczenia \(\displaystyle{ c_{n}}\) przyda się wzór:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k}b^{n-k}=(a+b)^n}\)

Podstawiasz i tyle.

[tomcza]

nie bardzo dalej wiem jak to obliczyc..

[Kamil_B]

Tzn gdzie się zacinasz ?
Tutaj wystarczy tylko , po napisaniu wzoru na \(\displaystyle{ c_{n}}\), rozpoznać pod tą sumą symbol Newtona \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) (w tym celu pomnóż i podziel przez \(\displaystyle{ n!}\)).