argumenty, równanie, zbiór

[kishkash]

witam, mam problem z kilkoma przykładami zadań z liczb zespolonych. jeżeli ktoś znajdzie chwilkę czasu to proszę o pomoc:) oto zadania:

1. Przedstawić w postaci trygonometrzycznej:

\(\displaystyle{ z= 1 + \cos x +i\sin x}\)

2. Obliczyć liczbę z:

a) {\(\displaystyle{ {z\in C : arg \frac{z+i}{z-i} = \pi}\)}

b) {\(\displaystyle{ z\in C : 0}\)

[Calasilyar]

2.
a)
podstawic \(\displaystyle{ \pi}\) do postaci trygonometrycznej - wyjdzie ci konkretna liczba i przyrównaj ją z \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}=1+\frac{2i}{z-i}}\) podstawiąjąc \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

c)
podstawic \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) do postaci trygonometrycznej - wyjdzie ci konkretna liczba. mając argument liczby \(\displaystyle{ z^{6}}\) nie będzie problemem podstawienie do wzrou na pierwiastki liczby zespolonej

3.
przekształcic \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=1-\frac{2i}{z+i}}\), uprościc przez wzory skróconego mnożenia i w końcu podstawic \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

4.
podstawic do t z=a+bi, wyznaczyc x i y z t=x+yi i obliczyc a i b z zależności: \(\displaystyle{ |t|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1}\)

[kishkash]

mógłbyś napisać rozwiązanie zad. 2a i 3? jakoś nie mogę dojść do tego o czym pewnie myślisz:)

[juzef]

W trzecim proponuję podstawić \(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}=t}\), rozwiązać równanie wielomianowe i powrócić do podstawienia.

W drugim Calasilyar źle kombinuje. Jesteś przekonany, że polecenie w tym zadaniu jest takie, jak napisałeś?

A może i nie kombinuje źle, tylko ja nie do końca rozumiem o co chodzi.

[Calasilyar]

2a)
\(\displaystyle{ 1+\frac{2i}{a+(b-1)i}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}(cos{\pi}+isin{\pi})\\
1+\frac{2i}{a+(b-1)i}=-\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
wyjdzie a i b

[kishkash]

no właśnie, problem w rozumowaniu Calasilyara widze tu, że traktuje on argument \(\displaystyle{ \pi}\) jako argument liczby \(\displaystyle{ z}\) a nie liczby\(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\). i dlatego ja też nie wiem jak to rozwiązać... może trzeba potraktować \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i}}\) jako inną liczbę \(\displaystyle{ w=a+ib}\), znaleźć ją dla argumentu \(\displaystyle{ \pi}\) i dopiero wtedy zrobić podstawianie dla \(\displaystyle{ z=c+id}\) i przyrównać z obliczoną wcześniej liczbą \(\displaystyle{ w}\)...

ps. niestety nic z tego pomysłu nie wyszło...