Równanie zespolone

curious · Post autor: **curious** » 19 paź 2006, o 16:54

\(\displaystyle{ z^{2} + 4i = 0}\)

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające ww warunek.

Rzeszut · Post autor: **Rzeszut** » 19 paź 2006, o 17:36

Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ z=\pm \sqrt{2}(i-1)}\).

curious · Post autor: **curious** » 19 paź 2006, o 18:09

Też doszedłem.

Ale do tego \(\displaystyle{ \Re z - 3, \ \Im z = 2}\) nie mogę...
W ogóle nie wiem jak takiego typu zdania się rozwiązuje.

\(\displaystyle{ \frac{z +2}{i-1} = \frac{3z+i}{2+i}}\)

tego też...

Rzeszut · Post autor: **Rzeszut** » 19 paź 2006, o 18:48

CURIOUS pisze:\(\displaystyle{ \frac{z +2}{i-1} = \frac{3z+i}{2+i}}\)

Wymnażasz przez oba mianowniki (niezerowe) i masz zwykłe równanie liniowe.

mypod · Post autor: **mypod** » 5 paź 2012, o 18:19

CURIOUS pisze:\(\displaystyle{ z^{2} + 4i = 0}\)

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające ww warunek.

Rzeszut pisze:Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ z=\pm \sqrt{2}(i-1)}\).

Miałbym prośbę, mógłby ktoś to dokładniej rozpisać? Utknąłem na tym przykładzie...

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 5 paź 2012, o 18:49

\(\displaystyle{ z=a+bi, \ a,b\in\mathbb{R} \\ \left( a+bi\right)^2=-4i \\
a^2+2abi-b^2=-4i \\ \\
\begin{cases} a^2-b^2=0 \\ 2ab=-4 \end{cases} \\ \Downarrow \\
\begin{cases} a=\sqrt2 \\ b=-\sqrt2 \end{cases}\vee \begin{cases} a=-\sqrt2 \\ b=\sqrt2 \end{cases}}\)

Hesz · Post autor: **Hesz** » 11 paź 2012, o 23:41

Nie bardzo ogarniam to przejście między układami a dokładniej, wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=0 \\ 2ab=-4 \end{cases}\\\begin{cases} (a+b)(a-b)=0 \\ 2ab=-4 \end{cases}\\\begin{cases} a=-b \\ b=\sqrt2 \end{cases}\vee \begin{cases} a=b \\ b^2=-2\end{cases}}\)

I z pierwszego wychodzi mi \(\displaystyle{ a=-\sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ b=\sqrt{2}}\) a drugi sprzeczny bo \(\displaystyle{ b}\) nie należy do rzeczywistych.

Edit. Juz wiem gdzie mialem blad, oba wychodza z pierwszego ukladu.

ptrkmj · Post autor: **ptrkmj** » 12 paź 2012, o 00:34

Lbubsazob pisze:\(\displaystyle{ a^2+2abi-b^2=-4i \\ \\ \begin{cases} a^2-b^2=0 \\ 2ab=-4 \end{cases}}\)

Czy mogłabyś wyjaśnić to "przejście" szerzej, skąd się to wzięło?

Hesz · Post autor: **Hesz** » 12 paź 2012, o 13:10

Część rzeczywista musi rownac sie czesci rzeczywistej, a urojona urojonej-- 12 paź 2012, o 13:11 --Część rzeczywista musi rownac sie czesci rzeczywistej, a urojona urojonej

ptrkmj · Post autor: **ptrkmj** » 12 paź 2012, o 19:02

Hesz pisze:Część rzeczywista musi rownac sie czesci rzeczywistej, a urojona urojonej

Reczywiście. Jeżeli ktoś jak ja tego od razu nie dostrzega to proszę:

\(\displaystyle{ a^2+2abi-b^2=-4i \\ (a^2-b^2)+i(2ab)=0+i(-4)}\)