Liczby zespolone - stosowanie wzoru Moivre'a ;;; pierwiastki

[Woojek]

Dzień dobry. Mam problem z pewnym typem zadań. Mianowicie nie wiem od czego zacząć. Jakbym mógł to proszę o tłumaczenie jak krowie na rowie. Chcę to poprostu zrozumieć, ponieważ w książce jest zbyt lakonicznie wytłumaczone.
Treść zadania: skorzystać ze wzoru Moivre'a i wynik przedstawić w postaci algebraicznej
\(\displaystyle{ (\frac{1+i \sqrt{3}}{1-i \sqrt{3}}) ^{10}}\)

Treść zadania: Wyznaczyć pierwiastki liczb zespolonych
a) \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\)

b) \(\displaystyle{ \sqrt{1-i \sqrt{3}}\)

[miodzio1988]

Postac trygonometryczna i wstawiasz do wzoru. Jaki jest problem Konkretnie?

[Crizz]

\(\displaystyle{ \left(\frac{ 1+i \sqrt{3} }{ 1-i \sqrt{3} }\right) ^{10}=\frac{(1+i \sqrt{3})^{10}}{(1-i \sqrt{3})^{10}}}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})}\)

Analogicznie, \(\displaystyle{ 1-i\sqrt{3}=2\left(cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+isin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)}\)

Po podniesieniu obu tych liczb do dziesiątej potęgi, otrzymujemy odpowiednio:
\(\displaystyle{ 2^{10}(cos\frac{10\pi}{3}+isin\frac{10\pi}{3})}\)
\(\displaystyle{ 2^{10}\left(cos\left(-\frac{10\pi}{3}\right)+isin\left(-\frac{10\pi}{3}\right)\right)}\)
(na mocy wzoru de Moivre'a \(\displaystyle{ (cos\alpha+isin\alpha)^{n}=cosn\alpha+isinn\alpha}\))

Jeśli dzielimy dwie liczby w postaci trygonometrycznej, to ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy (tzn. jeśli \(\displaystyle{ z_{1}=|z_{1}|(cos\alpha_{1}+isin\alpha_{1}), z_{2}=|z_{2}|(cos\alpha_{2}+isin\alpha_{2})}\), to \(\displaystyle{ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}(cos(\alpha_{1}-\alpha_{2})+isin(\alpha_{1}-\alpha_{2})}\))

Stąd \(\displaystyle{ \frac{2^{10}(cos\frac{10\pi}{3}+isin\frac{10\pi}{3}) }{2^{10}\left(cos\left(-\frac{10\pi}{3}\right)+isin\left(-\frac{10\pi}{3}\right)\right)}=cos (\frac{10\pi}{3}-(-\frac{10\pi}{3})) +isin(\frac{10\pi}{3}-(-\frac{10\pi}{3}))=cos(7\pi-\frac{1}{3}\pi)+isin(7\pi-\frac{1}{3}\pi)}\)

Kąt jest drugiej ćwiartki, zatem ostatecznie otrzymujesz \(\displaystyle{ -cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

-- 21 kwietnia 2010, 14:54 --

\(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2(0+1 \cdot i)}=\sqrt{ 2 \cdot(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}) }}\)

Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach z liczby zespolonej:
Wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\) dane są wzorem \(\displaystyle{ w_{n}=\sqrt[w]{|z|}(cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n})}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,2,...,n-1}\)

W tym wypadku mamy dwa pierwiastki 2-go stopnia z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z= 2 \cdot(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\):
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt{2}\left(cos\frac{\frac{\pi}{2}}{2} + isin\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt{2}\left(cos\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2} + isin\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}{2}\right)}\)

Można to poupraszczać, poredukować kąty itd.

[Woojek]

a te zadnie b) to tak? :
\(\displaystyle{ \sqrt{1-i \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \ z=2}\)

\(\displaystyle{ \ 2(cos \frac{5}{6} \pi + i*sin \frac{5}{6} \pi )


W_{0} = 2 (cos \frac{5}{12}\ pi + i*sin \frac{5}{12} \pi)


W_{1} = 2 (cos \frac{7}{12}\ pi + i*sin \frac{7}{12} \pi)}\)

[Woojek]

11/13 z kolokwium. Dziękuję Crizz.