Cześć mam wielką prośbe mógły mi ktoś w tym pomóc, ale napisać stopniowo jak to zrobic<prosi>
Korzystając z wzoru Moivre'a wyrazić za pomocą tylko sinx i cosx dane funkcji tryg
a)cos4x
b)sin3x
c)tg3x
d)ctg3x
Wzór Moivre'a
-
Gacuteek
- Użytkownik
- Posty: 1075
- Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 272 razy
Wzór Moivre'a
Dla przykładu zrobię (a) (reszta analogicznie)
Rozpatrzmy wyrażenie:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}}\)
Ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}=cos4x+isin4x}\)
Teraz wykorzystamy wzór dwumianowy Newtona:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}= {4 \choose 0}cos^{4}x+ {4 \choose 1}cos^{3}x(isinx)+ {4 \choose 2}cos^{2}x(isinx)^{2} + {4 \choose 3}cosx(isinx)^{3}+ {4 \choose 4}(isinx)^{4}}\)
Teraz porównujemy oba wyrażenia:
\(\displaystyle{ cos4x+isin4x={4 \choose 0}cos^{4}x+ {4 \choose 1}cos^{3}x(isinx)+ {4 \choose 2}cos^{2}x(isinx)^{2} + {4 \choose 3}cosx(isinx)^{3}+ {4 \choose 4}(isinx)^{4}}\)
pozostawiamy po jednej stronie równości \(\displaystyle{ cos4x}\) zaś na drugą przenosimy resztę.
Pozdrawiam. MG
Rozpatrzmy wyrażenie:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}}\)
Ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}=cos4x+isin4x}\)
Teraz wykorzystamy wzór dwumianowy Newtona:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{4}= {4 \choose 0}cos^{4}x+ {4 \choose 1}cos^{3}x(isinx)+ {4 \choose 2}cos^{2}x(isinx)^{2} + {4 \choose 3}cosx(isinx)^{3}+ {4 \choose 4}(isinx)^{4}}\)
Teraz porównujemy oba wyrażenia:
\(\displaystyle{ cos4x+isin4x={4 \choose 0}cos^{4}x+ {4 \choose 1}cos^{3}x(isinx)+ {4 \choose 2}cos^{2}x(isinx)^{2} + {4 \choose 3}cosx(isinx)^{3}+ {4 \choose 4}(isinx)^{4}}\)
pozostawiamy po jednej stronie równości \(\displaystyle{ cos4x}\) zaś na drugą przenosimy resztę.
Pozdrawiam. MG