(a) \(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2 = (|z_1|^2+|z_2|^2)-4|z_1||z_2|\sin^2(\frac{1}{2}\arg{\frac{z_1}{z_2}})}\)
tutaj sobie to zapisałem jako:
\(\displaystyle{ (z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)} = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) = |z_1|^2+|z_2|^2 + z_1 \overline{z_2}+z_2 \overline{z_1}}\)
pierwsza część się zgadza, tylko nie wiem teraz jak z tego dojść to tej drugiej -4... itd. próbowałem zaminić sobie to na a+ib i jakoś tam mnożyć, ale niestety nic ciekawego nie wyszło a dokładniej coś takiego (sama druga część równania):
\(\displaystyle{ 2 a_1a_2+2 b_1 b_2}\)
----------------------------
(b) \(\displaystyle{ |z_1+z_2|^2-|z_1-z_2|^2 = 4|z_1||z_2|\cos(\arg{\frac{z_1}{z_2}})}\)----------------------------
(c)\(\displaystyle{ ||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|}\)pierwsza część czyli \(\displaystyle{ |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|}\)
została niby zrobiona częściowa na wykładzie, ale mam problem ze zrozumieniem jej
Dla \(\displaystyle{ z_1+z_2 \neq 0}\):
\(\displaystyle{ 1=\frac{z_1+z_2}{z_1+z_2}= Re(\frac{z_1}{z_1+z^2} + \frac{z_2}{z_1+z^2}) = Re(\frac{z_1}{z_1+z^2}) + Re(\frac{z_2}{z_1+z^2})}\)
ok rozpisujemy jedynke rozumiem
\(\displaystyle{ z = a+ib \\
Re z = a \le \sqrt{a^2+b^2}}\)
skąd możemy wnioskować że sama część rzeczywista jest mniejsza niż moduł, nie rozumiem tego zbytnio...
i teraz
\(\displaystyle{ 1 \le |\frac{z_1}{z_1+z_2}| + |\frac{z_2}{z_1+z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_1+z_2|} + \frac{|z_2|}{|z_1+z_2|}}\)
skąd to się wzieło, przedtem rozpisaliśmy jedynkę jako równanie a teraz nagle znak mniejszości czy stąd że cz rzeczywista jest mniejsza niż moduł, po za tym mieliśmy samą część Re z tej jedynki a tu nagle znak modułu
\(\displaystyle{ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|}\)
jak będzie w przypadku \(\displaystyle{ ||z_1| - |z_2|| \le |z_1 + z_2|}\) też trzeba z jakiejś magicznej jedynki skorzystać? niestety nie widzę tego :/