Pierwiastek i Moivre'a

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Kadett33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 17 sie 2009, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Pierwiastek i Moivre'a

Post autor: Kadett33 »

\(\displaystyle{ 1) \sqrt[3]{-27j}}\)
\(\displaystyle{ 2) (3- \sqrt{3}j) ^{19}}\)
miodzio1988

Pierwiastek i Moivre'a

Post autor: miodzio1988 »

Zamiana na postac trygonometryczną i korzystasz ze wzoru. Problem to?
Kadett33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 17 sie 2009, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Pierwiastek i Moivre'a

Post autor: Kadett33 »

Ad 2
\(\displaystyle{ z=3- \sqrt{3}j \\
|z|= \sqrt{3 ^{2}+ (- \sqrt{3}j ) ^{2} } = \sqrt{9+3} =\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\
\varphi= 2\Pi - \frac{\pi}{6}= \frac{11}{6} \Pi \begin{cases} cos \varphi = \frac{3}{2 \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ sin \varphi = \frac{- \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = -\frac{ 1 }{2} \end{cases}\\
z=3- \sqrt{3}j=2 \sqrt{3}(cos \frac{11}{6}\Pi+jsin\frac{11}{6}\Pi ) \\
z ^{19}= (2 \sqrt{3}) ^{19} (cos \frac{11 \cdot 19}{6}\Pi+jsin\frac{11 \cdot 19}{6}\Pi ) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} (cos \frac{209}{6}\Pi+jsin\frac{209}{6}\Pi ) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} [cos (34\Pi +\frac{5}{6}\Pi)+jsin (34\Pi +\frac{5}{6}\Pi)]) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} (cos \frac{5}{6}\Pi+jsin \frac{5}{6}\Pi ) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} [cos (\Pi-\frac{\Pi}{6}+jsin (\Pi-\frac{\Pi}{6} )] \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} (-cos \frac{\Pi}{6}+jsin \frac{\Pi}{6}) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot 2 \sqrt{3} (-\frac{ \sqrt{3}}{2}+j \frac{1}{2}) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} \cdot \sqrt{3} (-\sqrt{3}+j) \\
= (2 \sqrt{3}) ^{18} (-3+j \sqrt{3} ) \\}\)


dobrze?

-- 16 mar 2010, o 21:07 --

Co do zadania pierwszego, to jak to liczyć? Z Moivre'a? Jednak wtedy wychodzi mi wynik 0-j przy każdym z. A wynik chyba powinien wynosić -3j?
ODPOWIEDZ