1)Wykazac ze
\(\displaystyle{ |b-a| ^{2} +|c-b| ^{2} +|a| ^{2} + |c| ^{2} =|c-a| ^{2}+|b| ^{2} +|a-b+c| ^{2}}\)
dla dowolnych liczb zespolonych a,b,c
2)Załózmy ze liczby zespolone \(\displaystyle{ z _{k}}\) spełniaja warunek \(\displaystyle{ |z _{k}| \le 1}\) dla k=1,2,...,n
Wykazac nierównosc \(\displaystyle{ |\prod_{k=1}^{n} z _{k} -1| \le \sum_{k=1}^{n}|z _{k}-1|}\)
PROSZE BARDZO O POMOC
ZESPOLONE RÓWNANIA
-
pipol
ZESPOLONE RÓWNANIA
2) wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ |w\cdot z -1|\leq |1-w|+|1-z|}\) dla \(\displaystyle{ |z|,|w| \le 1.}\)
Mamy więc \(\displaystyle{ |w\cdot z -1|=|w\cdot z- z +z-1| \le |z||w-1|+|z-1| \le |w-1|+|z-1| .}\)
Teraz wystarczy zastosować indukcję względem \(\displaystyle{ n}\) i skorzystać z powyższego.
Mamy więc \(\displaystyle{ |w\cdot z -1|=|w\cdot z- z +z-1| \le |z||w-1|+|z-1| \le |w-1|+|z-1| .}\)
Teraz wystarczy zastosować indukcję względem \(\displaystyle{ n}\) i skorzystać z powyższego.