\(\displaystyle{ \left| 1 - z _{1} \overline{z_{2}} \right| ^{2} - \left| z_{1} - z_{2}\right| ^{2} = (1 - \left| z_{1} \right| ^{2} ) ( 1 - \left| z_{2} \right| ^{2} )}\)
Próbowałem rozpisywać lewą stronę, ale nie byłem w stanie dojść do czegoś co by było chociażby podobne do prawej .
Udowodnij tożsamość.
Udowodnij tożsamość.
dochodzi się do tego samego, żeby porównać musiałam rozpisać obie strony ale wychodzi dokładnie to samo
obrałam dwie liczby
\(\displaystyle{ z_{1}=x+iy; z_{2}=a+ib}\)
\(\displaystyle{ |1-(x+iy)(a-bi)|^{2}-|x+iy-a-ib|^{2}=(1-(x^{2}+y^{2}))(1-(a^{2}+b^{2}))}\)
obrałam dwie liczby
\(\displaystyle{ z_{1}=x+iy; z_{2}=a+ib}\)
\(\displaystyle{ |1-(x+iy)(a-bi)|^{2}-|x+iy-a-ib|^{2}=(1-(x^{2}+y^{2}))(1-(a^{2}+b^{2}))}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij tożsamość.
Szybciej będzie skorzystać z własności \(\displaystyle{ u\overline{u}=|u|^2}\). Mamy:
\(\displaystyle{ L=\left( 1 - z _{1} \overline{z_{2}} \right)\left( 1 - \overline{z_{1}}z _{2} \right) -
\left( z_{1} - z_{2}\right)\left( \overline{z_{1}} - \overline{z_{2}}\right) = \\ =
1-z _{1} \overline{z_{2}}-\overline{z_{1}}z _{2} + |z_1|^2|z_2|^2 - |z_1|^2 +z _{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}}z _{2} - |z_2|^2 = \\ =
1-|z_1|^2-|z_2|^2+ |z_1|^2|z_2|^2 = P}\)
Q.
\(\displaystyle{ L=\left( 1 - z _{1} \overline{z_{2}} \right)\left( 1 - \overline{z_{1}}z _{2} \right) -
\left( z_{1} - z_{2}\right)\left( \overline{z_{1}} - \overline{z_{2}}\right) = \\ =
1-z _{1} \overline{z_{2}}-\overline{z_{1}}z _{2} + |z_1|^2|z_2|^2 - |z_1|^2 +z _{1} \overline{z_{2}}+\overline{z_{1}}z _{2} - |z_2|^2 = \\ =
1-|z_1|^2-|z_2|^2+ |z_1|^2|z_2|^2 = P}\)
Q.