Problem z koncówką zadania z potęgowania liczby zespolonej.

[chomicek]

Witam mam problem z rozwiązaniem zadania dot. potęgowania l. zespolonych.
Oto temat zadania:

\(\displaystyle{ (1-i)^{12}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ z=1-i}\)

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ r=|z|}\)

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{a}{r}= \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{b}{r}= \frac{- \sqrt{2} }{2} = \frac{- \pi }{4}}\)

I dalej z wzoru de Moivre'a:

\(\displaystyle{ z ^{12}=( \sqrt{2} ^{12} [cos(12 \frac{ \pi }{4} )+isin(12( \frac{- \pi }{4} ))]= \\ \\ =64[cos \frac{12 \pi }{4}+isin( \frac{-12 \pi }{4})]= \\ \\ =64[cos3 \pi +isin(-3 \pi )]= \\ \\ =64(-1-i)}\)

Czy to wszystko wykonałem dobrze ? Czy ostatnie działanie zapisałem poprawnie ?
Jak z tego uzyskać ostateczny wynik ? Mam przemnożyć 64 przez czynniki w nawiasie ?

Czekam na info. Pzdr.

[meninio]

\(\displaystyle{ \sin k\pi=0}\) dla \(\displaystyle{ k \in C}\)

[pingu]

Źle masz określony kąt \(\displaystyle{ \varphi}\), zauważ, że on leży w IV ćwiartce, więc jaka jest jego wartość?

Kąt nie może być raz "minus", raz "plus", jest jeden!!!

Sprawdź swoje obliczenia.

Pozdrawiam
pingu

[chomicek]

No właśnie z tym mam problem we wszystkich zadaniach z liczbami zespolonymi.
Mam przed sobą narysowaną sinusoidę i cosinusoidę i w IV ćwiartce sin jest ujemny a cosinus dodatni.
Nie wiem co dalej z tym zrobić żeby otrzymać jeden argument.
Mógłbym prosić o jakieś przystępne wyjaśnienie ?

Dzięki za wszelką pomoc. Pzdr.

Edit: Zauważyłem błąd: \(\displaystyle{ sin(-3 \pi )=0}\)

Więc powinno być:

\(\displaystyle{ =64[cos3 \pi +isin(-3 \pi )]= \\ \\ =64(-1+i*0)= \\ \\ =-64}\)

Czy teraz jest dobrze ? Dobrze kombinuje ?