Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}}\) jest
(i) liczbą rzeczywistą,
(ii) liczbą czysto urojoną.
Wyznaczenie liczb zespolonych
-
osa
- Użytkownik
- Posty: 272
- Rejestracja: 18 lut 2010, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 37 razy
Wyznaczenie liczb zespolonych
rozpisz sobie z jaki a+bi.
Otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\frac{1+a+bi}{1-a-bi}=\frac{1+a+bi}{1-a-bi} \cdot \frac{1-a+bi}{1-a+bi}}\)
mianownik dostajesz rzeczywisty, więc:
i) kiedy licznik jest czysto rzeczywisty
ii)kiedy licznik jest czysto urojony
\(\displaystyle{ \frac{1+a+bi}{1-a-bi} \cdot \frac{1-a+bi}{1-a+bi}=\frac{1-b^2-a^2+2bi}{(1-a)^2+b^2}}\)
czyli
i)kiedy \(\displaystyle{ b=0}\), czyli z jest czysto rzeczywiste
ii)kiedy \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) czyli z leży na okręgu jednostkowym
musisz pamiętać, że \(\displaystyle{ z \neq 1}\) bo wtedy mianownik będzie wynosił 0. I to wszystko
Otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}=\frac{1+a+bi}{1-a-bi}=\frac{1+a+bi}{1-a-bi} \cdot \frac{1-a+bi}{1-a+bi}}\)
mianownik dostajesz rzeczywisty, więc:
i) kiedy licznik jest czysto rzeczywisty
ii)kiedy licznik jest czysto urojony
\(\displaystyle{ \frac{1+a+bi}{1-a-bi} \cdot \frac{1-a+bi}{1-a+bi}=\frac{1-b^2-a^2+2bi}{(1-a)^2+b^2}}\)
czyli
i)kiedy \(\displaystyle{ b=0}\), czyli z jest czysto rzeczywiste
ii)kiedy \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) czyli z leży na okręgu jednostkowym
musisz pamiętać, że \(\displaystyle{ z \neq 1}\) bo wtedy mianownik będzie wynosił 0. I to wszystko