Znaleźć wszystkie rozwiązania równań

[Reedoo]

Witam.
Niestety liczby zespolone to moja najsłabsza dziedzina dlatego zwracam się o pomoc przy rozwiązaniu dwóch równań. Oto one:

1) \(\displaystyle{ z^{4}+{7}z^2+{10}=0}\)
2) \(\displaystyle{ z^{2}= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{10}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.
PS. Chodzi mi o to, aby ktoś wskazał mi 'ścieżkę' jaką mam przyjąć do rozwiązania. Np. zad1 - zastosuj wzór 'taki i taki', uprość, skorzystaj z twierdzenia 'takiego i takiego' i gotowe.

[BettyBoo]

1) podstaw \(\displaystyle{ t=z^2}\), rozwiąż równanie dla \(\displaystyle{ t}\), a potem rozwiąż dwa równania postaci \(\displaystyle{ t=z^2}\) dla obliczonych wartości t (w zespolonych)

2) jesteś pewien, że tam maja być te \(\displaystyle{ x}\)? Jeśli tak, to co jest niewiadomą w tym równaniu?

Pozdrawiam.

[Reedoo]

Ale ja jestem głupi...

Ad. 1.
Niby takie proste, a na to nie wpadłem, aż wstyd.

Ad. 2.
\(\displaystyle{ x}\) ma nie być, to przez pomyłkę. Już poprawiam.

Pozdrawiam

[BettyBoo]

W takim razie jedno rozwiązanie tego równania jest oczywiste (tu nie ma żadnej pułapki) - jasne jakie? Łatwo to teraz obliczyć korzystając ze wzoru na potęgowanie.

A drugie to liczba do niego przeciwna.

Pozdrawiam.

[Reedoo]

Czyżby miało być:

\(\displaystyle{ z= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{5}}\) lub \(\displaystyle{ z= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{5}}\)

?

[BettyBoo]

Nie wiem, jak Ci się te potęgi uprościły i nie wiem, czy chcę wiedzieć

\(\displaystyle{ z^2=t^{10}\ \Leftrightarrow \ z=\pm t^5}\)

Pozdrawiam.

[Reedoo]

Nie chcesz wiedzieć, cały dzień siedzę nad zespolonymi i już po prostu z przemęczenia pisze głupoty...
Dziękuję za pomoc i już poprawiam.
Pozdrawiam serdecznie!

[BettyBoo]

To popraw jeszcze raz - pisałam, że chodzi o liczbę przeciwną, a nie sprzężoną

Pozdrawiam.