Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&\over{z}&0\\0&\over{z}&z\\1&0&\over{z}\end{array}\right|=0}\)

Obliczyłem wyznacznik, wyciągnąłem \(\displaystyle{ \over{z}}\) i zacząłem liczyć , może coś źle robię, ale mi nie wychodzi. Mam jeszcze to narysować
Proszę o podpowiedz
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Metoda dobra, pewnie mylisz się w rachunkach. Pokaż jakieś obliczenia, to zobaczymy gdzie jest problem.

Wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ i\overline{z}^2+z\overline{z}}\)

Pozdrawiam.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

\(\displaystyle{ i\overline{z}^2+z\overline{z} = 0}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}(\overline{z}i + z) = 0}\)
\(\displaystyle{ \overline{z}=0 \vee \overline{z}i + z = 0}\)

i w tym momencie się gubię, przez to sprzężenie.

Czy piszę ze \(\displaystyle{ \overline{z}i = -z}\) ?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Najprościej chyba będzie, jak dla rozwiązania drugiego warunku skorzystasz z postaci algebraicznej, tzn podstawisz \(\displaystyle{ z=x+iy}\)

Pozdrawiam.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

Zrobiłem w ten sposób wcześniej i wyszło tak :
\(\displaystyle{ i(x+y)=-(x+y)}\)

Dziele przez (x+y) i mam ze \(\displaystyle{ i=-1}\)
problem jest taki ze muszę to zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Łożesz....Wychodzi Ci \(\displaystyle{ i=-1}\) a Ty zamiast się zdziwić, to chcesz to rysować..?

Kto Ci pozwolił podzielić?

Pozdrawiam.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

właśnie , to mnie zastanowiło , wiedziałem ze tak nie mogę zrobić , w jaki sposób mam narysować:
\(\displaystyle{ x+y + i(x+y) = 0}\)
i jeszcze ten \(\displaystyle{ \overline{z}=0}\)
Mam zamroczenie jakieś
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Najpierw to masz rozwiązać.

\(\displaystyle{ (x+y)(1+i)=0\ \Leftrightarrow \ x+y=0\ \Leftrightarrow \ y=-x}\)

\(\displaystyle{ \overline{z}=0\ \Leftrightarrow \ z=0}\)

Drugie rozwiązanie jest częścią pierwszego, więc rozwiązaniem jest prosta na płaszczyźnie zespolonej (specjalnie po to wprowadza się takie oznaczenia części rzeczywistej i urojonej, żeby rysowanie było analogiczne do rysowania na zwykłej płaszczyźnie).

Pozdrawiam.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

Dzięki , przypomniałem sobie jak robiliśmy to na wykładzie. Słuchaj mam jeszcze jedno szybkie pytanie,
Jak mam wielomian postaci :
\(\displaystyle{ x ^{4} + x^{2} +1 = 0}\) , to podstawiam za \(\displaystyle{ x^{2} - t}\) obliczam normalnie deltę , wychodzą mi 2 pierwiastki. Widzę, że jedno jest sprzężeniem drugiego , więc potrzebuje jeszcze jednego pierwiastka , jest jakaś zasada odnośnie tego ? bo wiem, że w wyniku znaki będą inne.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Nie zrozumiałam o co Ci chodzi

W każdym razie, jak rozwiążesz równanie z podstawieniem, to potem trzeba jeszcze rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^2=t}\) dla wyliczonych wartości \(\displaystyle{ t}\). Dla wielomianu stopnia 4 nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) otrzymujesz 4 rozwiązania.

Pozdrawiam.
mexide
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 sty 2010, o 14:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: mexide »

Wychodzą mi 2 pierwiastki:
\(\displaystyle{ t _{1}= - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}i }{2}}\)
\(\displaystyle{ t _{2}= - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}i }{2}}\)

teraz:

\(\displaystyle{ x ^{2} = t _{1}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}=t_{2}}\)

i teraz muszę obliczyć pierwiastki z tego , ze wzoru na pierwiastki wielomianu zespolonego ?
Czy po prostu piszę, że:
\(\displaystyle{ x _{2} = (-\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}i }{2})(\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}i }{2})}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = (-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}i }{2})(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}i }{2})}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Znaleźć rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: BettyBoo »

Musisz obliczyć oczywiście pierwiastki (możesz ze wzoru albo podstawiając postać algebraiczną).
mexide pisze: \(\displaystyle{ x _{2} = (-\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}i }{2})(\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}i }{2})}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = (-\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3}i }{2})(\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3}i }{2})}\)
Nie mam pojęcia, skąd to wziąłeś.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ