pierwiastek liczby zespolonj

[210290magda]

hej.dziś na egzaminie miałam zadanie z liczb zespolonych.mialam odliczyć pierwiastek z3 z jakiegoś równania 3 stopnia.na początku chciałam napisać że te równanie nie ma takiego pierwiastka ponieważ ma ono tylko 3 pierwiastki: z0,z1 i z2.ale koleżanka z tylu powiedziala ze w takim wypadku liczymy od nowa i z3 jest tak jak z0 czy to prawda? nigdy o takim czymś nie słyszałam no ale posłuchałam jej podpowiedzi

[Crizz]

Nie mam pojęcia, o co chodzi, ale domyślam się, że koleżanka nie bardzo ci pomogła.

[Kondrus]

Magda, a pamiętasz te równanie???

[210290magda]

\(\displaystyle{ z^3 + 8i = 0}\)
sorki że tak napisałam ale jeszcze nie umiem posługiwać się tymi znakami:)
no równanie bardzo proste normalnie napisałabym ze to równanie ma tylko 3 pierwiastki więc z3 nie istnieje.ale ta koleżanka tak przekonująco mówiła.hehe tym bardziej ze druga z przodu tez tak miała

[Kondrus]

Pani Magdaleno, no to tak się za to zabierzemy:

\(\displaystyle{ z^3+8i=0}\)
\(\displaystyle{ z^3=-8i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-8i}}\)

\(\displaystyle{ z=8}\)
\(\displaystyle{ cos \phi = 270^o \rightarrow \frac{2}{3}\pi}\) tutaj to wyliczone z płaszczyzny Gaussa

Teraz trzeba skorzystać z tego:
\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\right)}\)
Najlepiej to zajrzyj tutaj: na Wzór de Moivre'a

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-8i} = \sqrt[3]{8}(cos\frac{2}{3}\pi+i sin \frac{2}{3}\pi)}\)

\(\displaystyle{ w_0=2(cos \frac{\frac{2\pi}{3}}{3} + i sin\frac{\frac{2\pi}{3}}{3})}\)

\(\displaystyle{ w_1=2(cos \frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3} + i sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})}\)

\(\displaystyle{ w_2=2(cos \frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3} + i sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})}\)

Wyliczyć W0, W1, W2 i gotowe

[210290magda]

no tak tylko że ja miałam podać konkretnie z3,które wg mnie nie istnieje a wg koleżanek z3=z0

[Crizz]

Nie ma czegoś takiego, że \(\displaystyle{ z_{3}}\) ma jakąś konkretną wartość, przecież to są tylko Twoje oznaczenia, któy pierwiastek jest który. Równanie, jako równanie trzeciego stopnia, ma oczywiście tylko trzy pierwiastki (które możesz oznaczyć jako \(\displaystyle{ a_{154},x_{0},m_{45}}\)). Ile wynoszą, masz podane dwa posty wyżej. Obawiam się, że nic więcej w tym zadaniu nie można wymagać. Koleżanki nie mają racji mówiąc, że \(\displaystyle{ z_{3}=z_{0}}\) (jeśli już oznaczasz pierwiastki jako \(\displaystyle{ z_{0},z_{1},z_{2},...}\), bo to mogłoby najwyżej oznaczać, że równanie jest stopnia czwartego i ma pierwiastek dwukrotny (a przecież nie ma).