Rozwiąż równanie

[Bodzio2203]

\(\displaystyle{ (z^2 + 4)(z^3 - i)=0}\)

Jak to ruszyć? Bo wymnożenie tych nawiasów nie wydaje mi się dobrym pomysłem.

[kp1311]

Piszesz że to co jest w jednym nawiasie jest równe zero lub to co jest w drugim nawiasie jest równe zero i rozwiązujesz dwa prostsze równania.

[Bodzio2203]

\(\displaystyle{ z^3=i}\)

\(\displaystyle{ w_0= \sqrt[3]{i} (cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{3} + i sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{3}) = -1 ( \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{-\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ w_1= \sqrt[3]{i} (cos \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2\pi }{3} + i sin \frac{ \frac{\pi}{2} + 2\pi }{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ w_2= \sqrt[3]{i} (cos \frac{ \frac{\pi}{2}+ 4\pi }{3} + i sin \frac{ \frac{\pi}{2} + 4\pi }{3}) = i}\)

\(\displaystyle{ z^2=-4}\)

\(\displaystyle{ w_3= \sqrt[2]{4} (cos \frac{\pi}{2} + i sin \frac{\pi}{2}) = 2i}\)

\(\displaystyle{ w_4= \sqrt[2]{4} (cos \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2\pi }{2} + i sin \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2\pi }{2}) = -2i}\)

Tak jest dobrze?

[Kondrus]

hmmmm ja nie wiem czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}= -1}\) Coś mi tu nie pasuje?

[pingu]

a dlaczego pierwiastek z 3-sto z "i", tam jest moduł z liczby "i"

[Kondrus]

pingu, racja racja

Czyli:

\(\displaystyle{ w_0= \sqrt[3]{1} (cos \frac{ \frac{\pi}{2} }{3} + i sin \frac{ \frac{\pi}{2} }{3})}\)

-- 9 lut 2010, o 11:50 --
\(\displaystyle{ (z^2 + 4)(z^3 - i)=0}\)

hmmm a jak to na końcu wymnożyć?? Czy tam można zostawić??

[Bodzio2203]

No, ok racja zapomniałem o module. Z tym, że odpowiedzi się nie zgadzają, bo ma być tak:

\(\displaystyle{ z_1=2i}\)

\(\displaystyle{ z_2=-2i}\)

\(\displaystyle{ z_3= \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ z_4=-\frac{ \sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ z_5=1}\)