Bardzo proszę o pomoc w prostym równaniu. Już je obliczyłam jednak nie jestem pewna czy dobrze, ponieważ próbuję się nauczyć liczb zespolonych krok po kroku i niestety idzie mi to topornie.
\(\displaystyle{ z ^{3} + 1 =0}\)
Serdecznie pozdrawiam
i dziękuje za poświęcony czas i pomoc.
Proste równanie
-
Kasia_zabrze
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 8 lut 2010, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zabrze
- Podziękował: 2 razy
-
EnsamVarg
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 16 sty 2010, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ensam.varg@mail.ru
- Pomógł: 30 razy
Proste równanie
Mamy rownanie \(\displaystyle{ z^3=-1}\), ktorego rozwiazaniem jest zbior pierwiastkow trzeciego stopnia z liczby -1.
Korzystamy ze wzoru na n-ty pierwiastek liczby zespolonej z (zbior n-elementowy \(\displaystyle{ w_0,w_1,...,w_{n-1}}\))
\(\displaystyle{ \sqrt[n]z =\sqrt[n]{|z|}(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}),\; k=0,...,n-1}\)
W naszym zadaniu z=-1, zatem \(\displaystyle{ |z|=1, \;\phi=\pi}\) . n=3.
Na przyklad dla n=0 otrzymujemy
\(\displaystyle{ w_0=\sqrt[3]{|-1|}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}}\)
Podobnie obliczamy \(\displaystyle{ w_1, w_2}\)
Korzystamy ze wzoru na n-ty pierwiastek liczby zespolonej z (zbior n-elementowy \(\displaystyle{ w_0,w_1,...,w_{n-1}}\))
\(\displaystyle{ \sqrt[n]z =\sqrt[n]{|z|}(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}),\; k=0,...,n-1}\)
W naszym zadaniu z=-1, zatem \(\displaystyle{ |z|=1, \;\phi=\pi}\) . n=3.
Na przyklad dla n=0 otrzymujemy
\(\displaystyle{ w_0=\sqrt[3]{|-1|}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt 3}{2}}\)
Podobnie obliczamy \(\displaystyle{ w_1, w_2}\)