równanie w zbiorze liczb zespolonych

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 6 lut 2010, o 23:03

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z ^{2}+1 } =z}\)
Usuwam ułamek i wychodzi \(\displaystyle{ z^{3} =1}\)
No i tu się zaczynają schody. Ja obliczam to tak:
Moduł = 1, cos = 1, sin = 0 , i w ogólnym wzorze na potęgę liczby zespolonej mam:
z=1(cosn fi + isinn fi), obliczam fi: \(\displaystyle{ \Pi- 0 =\Pi}\), zatem we wzorze mam
\(\displaystyle{ z _{0} = 1(cos0*\Pi +isin0*\Pi) = 1}\)
\(\displaystyle{ z _{1} =1(cos1*\Pi + isin1*\Pi)= -1}\)
\(\displaystyle{ z _{2} =1(cos2*\Pi+ isin2*\Pi)= 1}\)
Więc rozwiązaniem tego równania w zbiorze liczb zespolonych sa liczby 1 i -1??

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 23:12

Po pierwsze, nie taki jest wzór na pierwiastki, sprawdź jeszcze raz.

Po drugie, gdzie Ci tam wyjdzie z tego równania \(\displaystyle{ z^3=1}\)?

Pozdrawiam.

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 6 lut 2010, o 23:21

\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z ^{2}+1 } =z /*z ^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ z+1 = z ^{3} +z}\)
\(\displaystyle{ z+1 - z ^{3} -z = 0}\)
\(\displaystyle{ z ^{3} =1}\)
Jeżeli robię błąd to powiedz gdzie, a wzór już chyba poprawiłem

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 23:27

Przekształcenie jest OK, sorry Cię bardzo, coś innego sobie zobaczyłam na początku

Wzór nadal źle:

\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,...,n-1}\)

Ty masz \(\displaystyle{ |1|=1,\ \varphi=0,\ n=3,\ k=0,1,2}\), więc jak będzie?

Pozdrawiam.

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 6 lut 2010, o 23:32

Podany przez Ciebie wzór jest na pierwiastki liczb zespolonych, a ja podałem wzór na potęgowanie. Dlaczego w tym zadaniu mialbym użyć wzoru na pierwiastki ?? Bo nie jestem pewien.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 23:37

A bo, proszę ja Ciebie, masz tak:

\(\displaystyle{ z ^{3} =1 \ \Leftrightarrow \ z=\sqrt[3]{1}}\)

Ty nie podałeś żadnego wzoru a to, co zrobiłeś, to ani potęgowanie ani pierwiastkowanie tylko jakaś hybryda

Pozdrawiam.

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 6 lut 2010, o 23:47

Trudno mi zaprzeczyć. Tak więc mam 3 rozwiązania :
1. 1
\(\displaystyle{ 2. -0,5 + \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
\(\displaystyle{ 3. 0,5 - \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)
zgadza się?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 23:51

Tak prawie

\(\displaystyle{ 3.\ -0,5 - \frac{ \sqrt{3} }{2}i}\)

Pozdrawiam.

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 6 lut 2010, o 23:56

Faktycznie, nie zauważyłem.
Mam jeszcze do zrobienia podobne równanie. \(\displaystyle{ z ^{4} + 16 = 0}\)
I tutaj też robię analogicznie? Korzystam z tego samego wzoru, tylko, że n=4, k= 0,1,2,3, |z|= 1 , fi= 0 ??

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 7 lut 2010, o 00:00

No tutaj trochę inaczej będzie, bo masz \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-16}}\), a więc \(\displaystyle{ |-16|=16,\ \varphi =\pi}\) (zaznacz to sobie na płaszczyźnie zespolonej, to sam zobaczysz).

Pozdrawiam.

filip1001 · Post autor: **filip1001** » 7 lut 2010, o 00:21

w tym drugim równaniu wyszły pierwiastki:
\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{2} + \frac{2 \sqrt{2} }{2} i}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2 \sqrt{2} }{2} + \frac{2 \sqrt{2} }{2} i}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2 \sqrt{2} }{2} + \frac{-2 \sqrt{2} }{2} i}\)
\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{2} + \frac{2 \sqrt{-2} }{2} i}\)
dobrze ?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 7 lut 2010, o 00:24

Ostatni pierwiastek to \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{2} }{2} - \frac{2 \sqrt{2} }{2} i}\), ale to pewnie chochlik drukarski

Reszta OK - się to upraszcza do \(\displaystyle{ \sqrt{2}\pm i\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}\).

Pozdrawiam.