Rozwiązać równanie

Kondrus · Post autor: **Kondrus** » 5 lut 2010, o 14:41

\(\displaystyle{ z^3=( \sqrt{3}+i)^3}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + i)^3}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt{ \sqrt{3}^2 + 1} = 2}\)
\(\displaystyle{ cos\phi \frac{ \sqrt{3} }{2} = 30^o=\frac{\pi}{6})}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)=2(cos\frac{\pi}{6}+i sin\frac{\pi}{6})}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^3=8(0+i)}\)
\(\displaystyle{ z^3=8i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{8i}}\)

I tutaj mam problem, bo na własnej skórze się dowiedziałem, iż nie jest to rozwiązanie ostateczne. Czy trzeba dalej wyliczyć:

\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{8i}}\)a nastepnie\(\displaystyle{ w_0, w_1, w_2}\)

lub

\(\displaystyle{ z=2i}\) i to wyliczyć

Z góry dzięki za odpowiedz

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 lut 2010, o 15:32

Wróćmy do oryginalnego równania. Jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z_0}\) tego równania widać, prawda? No to wszystkie rozwiązania tego równania się najprościej oblicza jako \(\displaystyle{ z_0\sqrt[3]{1}}\) (pierwiastek zespolony z 1, czyli 3 rozwiązania!)

Pozdrawiam.

Kondrus · Post autor: **Kondrus** » 5 lut 2010, o 15:45

Trochę nie rozumiem z skąd ta jedynka pod pierwiastkiem....

Nie mogę tego rozwiązać \(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{8i}}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 lut 2010, o 15:52

No możesz, jeśli koniecznie musisz, ale po co?? Nie łatwiej tak, jak napisałam?

Ta własność, z której tu się korzysta bierze się z interpretacji geometrycznej pierwiastków liczby zespolonej.

Pozdrawiam.

Kondrus · Post autor: **Kondrus** » 5 lut 2010, o 15:57

Czyli jak bym robił to po swojemu i jeżeli w równaniu jest z do entej, wychodzi pierwiastek, to ten pierwiastek zawsze trzeba dalej obliczyć??

a z=2i, z tego też można wyliczyć? było by tylko jedno równie...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 lut 2010, o 16:03

Kondrus pisze:Czyli jak bym robił to po swojemu i jeżeli w równaniu jest z do entej, wychodzi pierwiastek, to ten pierwiastek zawsze trzeba dalej obliczyć??

Tak, trzeba podać w odpowiedzi konkretna liczbę(liczby) zespoloną. Pierwiastki 3-go stopnia z liczby zespolonej (różnej od zera) jak wiadomo są trzy różne, więc tutaj masz 3 rozwiązania.

Kondrus pisze: a z=2i, z tego też można wyliczyć? było by tylko jedno równie...

A skąd takie coś dostałeś?

Pozdrawiam.

Kondrus · Post autor: **Kondrus** » 5 lut 2010, o 16:17

\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{8i}=2i}\) Chyba tak nie wolno??

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 5 lut 2010, o 20:31

No po pierwsze, tak nie wolno, a po drugie to w ogóle nieprawda

Pozdrawiam.