znajdź pierwiastki równania

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 3 lut 2010, o 23:54

cześć. czy mógłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem takiego zadania ?
Mam w piatek egzamin i bardzo byłabym wdzięczna za pomoc:)
prosiłabym też o sprawdzenie poprawności moich rachunków(zgłoszenie błędów i jakieś wskazówki)
mam znaleźć wszystkie pierwiastki równania a następnie przedstawić je w każdej z trzech postaci liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z ^{4} + (1-i)z ^{2}- i=0}\)

obliczyłam delte = 2i
więc:
\(\displaystyle{ z _{1} ^{2} =- \frac{1}{2}- \frac{1}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z _{2} ^{2}= \frac{3}{2} i- \frac{1}{2}}\)
jak teraz obliczyć pierwiastki , tak żeby rozwiązanie zostało w formie algebraicznej?
teraz przedstawiam liczbe \(\displaystyle{ z _{1}}\) w formir trygonometrycznej i wykładniczej:
\(\displaystyle{ \left|z _{1} \right|= \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha =- \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha= \frac{7}{8} \pi}\) (tego kąta nie jestem pewna)
co daje :
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{ \sqrt[4]{2} } (cos \frac{7}{8}\pi - isin \frac{7}{8}\pi)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1 }{ \sqrt[4]{2} } e ^{- \frac{7}{8}\pi }}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{ \sqrt[4]{2} } (cos \frac{23}{16}\pi - isin \frac{23}{16}\pi)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1 }{ \sqrt[4]{2} }e ^{- \frac{23}{16}\pi }}\)

teraz obliczam \(\displaystyle{ z ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|z _{2} \right| = \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = - \frac{1}{ \sqrt{10} }}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10} }}\)
jak obliczyć sinus i cosinus tak żebym mogła przedstawić je w formie trygonometrycznej?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 4 lut 2010, o 01:42

Zacznijmy od tego, że powinno wyjść

\(\displaystyle{ z _{1} ^{2} =- 1,\quad z _{2} ^{2}= i}\)

Podaj obliczenia, bo nie wiem gdzie masz błąd.

Pozdrawiam.

e-v-e-l-a · Post autor: **e-v-e-l-a** » 4 lut 2010, o 08:57

obliczam delte
\(\displaystyle{ \Delta =(1-i) ^{2}-4*(-i) =1-2i+i ^{2} +4i=2i}\) \(\displaystyle{ i ^{2}=-1}\)
takie wychodza mi pierwiastki
\(\displaystyle{ z ^{2} _{1} = \frac{-1+i-2i}{2}= \frac{-1+i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} _{2}= \frac{-1+i + 2i}{2}= \frac{3i-1}{2}}\)
ale może gdzieś mam błąd którego nie zauważam

eresix · Post autor: **eresix** » 4 lut 2010, o 11:00

Po moich przeliczeniach delta wynosi \(\displaystyle{ 2i}\), ale to też jest chyba złe rozwiązanie, pierwiastki \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\) rzeczywiście są poprawnymi rozwiązaniami... Oto jak ja liczę:

\(\displaystyle{ \Delta = (1-i)^{2} + 4i = 2i}\)

\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1 + i - \sqrt{2i} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1 + i + \sqrt{2i} }{2}}\)

Prof. Przybycień pewnie by się uśmiał...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 4 lut 2010, o 11:05

Wyróżnik jest dobrze, ale przecież trzeba wziąć z tego pierwiastek, czyż nie? I trzeba go obliczyć, czyż nie?

No a \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\pm(1+i)}\)

i stąd wychodzą takie rozwiązania jak podałam.

Pozdrawiam.

eresix · Post autor: **eresix** » 4 lut 2010, o 11:13

No jasne, dzięki za oświecenie

Po doliczeniu do wyniku otrzymałem takie rozwiązania:

Pierwiastek dwukrotny : \(\displaystyle{ z _{1,2} = i}\)

\(\displaystyle{ z _{3} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i}\)

\(\displaystyle{ z _{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i}\)

?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 4 lut 2010, o 19:51

Hm...Podaj może swoje obliczenia, bo gdzieś robisz jakiś błąd, ale nie wiem gdzie.

Rozwiązania: \(\displaystyle{ z=\pm i,\ z=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)}\)

Pozdrawiam.