równanie z zespolonych

piotrekszy · Post autor: **piotrekszy** » 29 sie 2006, o 16:17

prosiłbym bardzo o pomoc w rozwiązaniu równania
x�+x�+x=0 jakby można było to tak krok po kroku

Otrzymane pierwiastki zaznacz na płaszczyżnie Gaussa.

Z góry dzięki za pomoc !

liu · Post autor: **liu** » 29 sie 2006, o 16:23

Hmm, rownania wielomianowe rozwiazuje sie dokladnie tak samo jak w szkole z ta roznica, ze pierwiastki moga byc zespolone.
Zauwazmy, ze nasze rownanie rownowazne jest rownaniu
\(\displaystyle{ x(x^2+x+1)=0}\), skad \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\).
Wyroznik rownania kwadratowego jest rowny \(\displaystyle{ -3}\), stad rownanie to ma dwa pierwiastki zespolone sprzezone wyrazajace sie wzorem \(\displaystyle{ x_{1,2} = \frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\), po wstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\), finalnie wiec

\(\displaystyle{ x^3 + x^2 + x =0 \Longleftrightarrow x\in \{0, -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \}}\).

Zaznaczyc pierwiastki rownania na plaszczyznie zespolonej to juz chyba nie problem;P

piotrekszy · Post autor: **piotrekszy** » 30 sie 2006, o 12:17

a coś takiego :

x�+18x-19=0

pomożecie ?

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 30 sie 2006, o 12:50

\(\displaystyle{ x^{3}+18x-19=(x-1)(x^{2}+x+19)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
i kwadratowe
\(\displaystyle{ \Delta=-75 \\ \sqrt{\Delta}=5i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-1-5i\sqrt{3}}{2} \\ x_{3}=\frac{-1+5i\sqrt{3}}{2}}\)

piotrekszy · Post autor: **piotrekszy** » 30 sie 2006, o 13:56

Calasilyar pisze:\(\displaystyle{ x^{3}+18x-19=(x-1)(x^{2}+x+19)=0}\)

z jakiego wzoru skorzystałes przy rozkładzie tego wielomianu ?

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 30 sie 2006, o 14:02

to widac: \(\displaystyle{ x^{3}+18x-18-1=(x^{3}-1)+18(x-1)}\)

jeszcze jakbyś chciał są wzory Cardano na pierwiastki równania stopnia trzeciego, ale troszkę dużo liczenia...

piotrekszy · Post autor: **piotrekszy** » 30 sie 2006, o 14:44

[quote="Calasilyar"(x^{3}-1)+18(x-1)[/latex]

oki to rozumiem, a jak z tego wzięło się (x-1) x�+x+19 ?

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 30 sie 2006, o 14:45

...wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)}\)

piotrekszy · Post autor: **piotrekszy** » 3 wrz 2006, o 15:42

to rozwalcie jeszcze to

x� +64=0

x�-3x-18=0

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 3 wrz 2006, o 17:25

To w zasadzie wszystko sie robi tak samo.
ad. 1
Wzór na sumę sześcianów
\(\displaystyle{ (x+4)(x^2-4x+16)}\)
Drugi czynnik z delty. Oczywiscie wyjdzie ujemna co w niczym nie przeszkadza.

ad. 2
Podpowiem że jednym z miejsc zerowych jest 3, wiec podziel wielomian przez x-3 albo Hornerem rozpisz na postac czynnikową, i pozniej takze deltą.